Rezolvarea problemelor de matematica prin metoda mersului invers

Această metodă de rezolvare a problemelor de matematică se aplică problemelor în care datele depind succesiv unele de altele. Enunţul problemei trebuie urmărit de la sfârşit către început.
În timpul rezolvării efectuăm operaţia inversă celei care apare în enunţ, ceea ce înseamnă că nu numai mersul este invers, ci şi operaţiile pe care le facem sunt inverse celor celor din enunţul problemei.
Proba se face aplicând numărului determinat operaţiile din enunţul problemei. Voi exemplifica prin rezolvarea următoarei probleme:

M-am gândit la un număr, l-am înmulţit cu 10, la rezultat am adunat 16, suma am împarţit-o la 6, iar din cât am scăzut 10, obţinând 56. Aflaţi numărul.

Rezolvare I.
Numărul din care am scăzut 10 este

56 + 10 = 66.

Numărul care împărţit la 6 dă 66 este

66×6= 396.

Numărul care adunat cu 16 dă 396 va fi

396 – 16 = 380.

Şi în sfârşit, numărul care înmulţit cu 10 dă 380 este

380 :10= 38.

Numărul căutat este 38.

Rezolvare II.

Redactarea rezolvării o puteam aranja şi astfel: notăm cu a numărul necunoscut şi obţinem:

( a x 10 + 16 ) : 6 – 10 = 56.

Calculele se ordonează astfel:

( a x 10 + 16 ) : 6 = 56 + 10
( a x 10 + 16 ) : 6 = 66
a x 10 + 16 = 66 x 6
a x 10 + 16 = 396
a x 10 = 396 – 16
a x 10 = 380
a = 380 : 10
a = 38

Proba sau verificarea rezultatului este următoarea: 38×10=380, apoi 380+16=396 şi 396:6= 66; în sfârşit, 66 -10 = 56, ceea ce corespunde enunţului.

Rezolvaţi, folosind aceeaşi metodă, problema:

Un număr se împarte la 7, din cât se scade 17, diferenţa se înmulţeşte cu 5, iar la produs se adună 15, obţinându-se astfel 20. Aflaţi numărul.


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.


Posted in Matematică, Ora de Ştiinţe and tagged , , , , .

128 Comments

  1. Buna ziua sunt mama unei fetite de clasa a 4a si as dori sa ma ajutati la 2 probleme daca se poate:
    1) a+b+c+d=720
    a+5=x
    b-5=x
    C:5=x
    d×5=x
    aflati valorile lui a..b..c..d…stiind ca X este acelasi la toate rezultatele operatiilor….

    • Draga Maria,
      Scriem,a=x-5;b=x+5;c=5x si x=5d. Apoi inlocuim x in a,b,c si obtinem a=5d-5; b=5d+5; c=25d. Ultimele relatii le inlocuim in prima si obtinem
      5d-5+5d+5+25d+d=720 sau 36d=720 de unde d= 720:36= 20. Apoi aflam a=5×20-5; b=5×20+5; c=25×20; x=100. Cu bine.

  2. Buna ziua,sunt mama unei fetite de clasa a IV-a si as dori sa mă ajutati cu următoarea problema:
    Bunicul lui Tudor dispune de o suma de bani si constata următoarele :dupa ce cheltuieste 2 supra 5 din sumă pe o masina de tuns iarba,2 supra 3 din cat ii rămăsese pe un hidrofor,iar dupa ce cheltuieste 300 de lei pe o bicicleta i-au mai rămas 600 de lei.Ce suma a avut bunicul lui Tudor si cat a costat fiecare obiect achizitionat.

    • Așadar, întâi îi „desenați” suma totală. Ar trebui să știe că două cincimi (nu puneți fracții) reprezintă două părți din cinci. Împărțiți grafic în cinci părți egale suma inițială, și hașurați două părți, care se „cheltuie”.
      Din ceea ce rămâne cheltuie două treimi. Strict în acest caz, îi rămân trei părți. Dacă cheltuia să spunem o pătrime, desenați din nou suma rămasă, o împărțeați în patru, și reluați algoritmul de mai sus.
      Și aici îi explicați la fel… din ce rămâne (desenați ce rămâne), cheltuie două treimi, adică împărțim în trei și hașurăm două, care dispar.
      Pasul următor: desenați ce rămâne. Marcați un fragment, care reprezintă cei 300 lei cheltuiți, și copiați din nou segmentul rămas, pe care îl cunoaștem – 600 lei. De aici începe rezolvarea.
      1. Câți lei a avut înainte să cumpere bicicleta? 600+300=900(lei)
      Observăm că 900 reprezintă o parte din cele trei, dar (doar în acest caz) și o parte din cele cinci inițiale. Așadar:
      2. Câți lei a avut la început? 900 x 5 = 4500 (lei)
      De asemenea, fiecare obiect achiziționat reprezintă două părți, deci:
      3. Cât costă mașina de tuns iarba? 900 x 2 = 1800 (lei)
      4. Cât costă hidroforul ? 900 x 2 = 1800 (lei)

      Ignorând cazul particular al problemei, etapele ar fi următoarele:
      2. Câți lei a avut înainte de a cumpăra hidroforul?
      900 x 3 = 2700 (lei)
      3. Câți lei a costat hidroforul?
      2700 – 900 = 1800 (lei)

      Dacă 2700 reprezintă trei părți din cinci, atunci o cincime reprezintă: 2700 : 3 = 900
      4. Ce sumă a avut inițial? 900 x 5 = 4500 (lei)
      4. Câți lei a costat mașina de tuns iarba?
      4500 – 2700 = 1800 (lei)

      Succes!

    • Buna ziu, si noi ne-am incurcat la o problema de clasa a IV a.
      Un copil a citit o carte in 4 zile. In prima zi a citit cu 40 de pagini mai putin decat 1/3 din numarul de pagini. A doua zi a citit 1/3 din rest. A treia zi a citit jumatate din noul rest, iar in a patra zi a citit 80 de pagini care au mai ralas. Cate pagini avea cartea?

    • Draga Magdalena,realizam urmatorul desen.
      /————/————/————/nr pag imp in 3 parti egale
      /——–/40 /nr pag citite a doua zi,cu 40 mai putine decat 1/3
      rest este/——–/——–/———/si a citit 1/3 din acest rest
      a d i ca/———/a treia zi a citit jumatate din noul rest,
      ………………/———/———/si a patra zi 80 de pagini, adica ultimul segment are 80 pagini. Sper sa te descurci! Cu bine

  3. Buna seara , ma numesc Antonia si sunt in clasa 7 . M-am incurcat la aceasta problema si as vrea sa ma ajutati :

    1. In triunghiul ABC cu unghiul A = 90 grade , tg C = 1,2 . Stiind ca : AC = 15 cm , aflati AB.
    M-am gandit sa o rezolv asa :
    tg C = AB/AC
    1,2 = AB / 15
    12/ 150 = AB/15
    12 x 15 = AB x 150 = 180 – 150 = 30
    Dar nu stiu daca este bine , va rog sa ma ajutati !

    • Draga Antonia,
      AB=1,2×15=…aflarea unui termen necunoscut sl unei proportii! Cu bine.

  4. Buna ziua , ma numesc Antonia si sunt in clasa 7 . As dori sa ma ajutati la aceasta problema , daca se poate :

    1. In triunghiul ABC construim inaltimea AD , D apartine lui BC si avem AD = 8√3 cm . Aflati BC daca :
    a) m( B ) = 30 grade si m(C) = 45 grade.

    • Draga Antonia,
      Aflidin triunghiul ADC, AC cu sin30*,apoi DC cu tg30;din tr ABD, AB cu sin45, apoi BD cu tg45.BC=BD+DC Cu bine.

  5. Buna ziua , m-am incurcat la aceste probleme si as vrea sa ma ajutati , daca se poate :
    1)Daca ( x-3 ) la puterea 2= x la puterea 2 + ax +9 , determinati numarul intreg a.
    2) Fie ABC un dreptunghi cu AB = 5 √3 cm si BC = 5 cm. Aflati valoarea raportului m(BAC) / m(DAC)

    Multumesc !

    • Drtaga Antonia,
      Daca ridici la putere membrul intii, obtii x^2-6x+9=x^2+ax+9, de unde a=-6.La problema de geometrie, ABC este triunghi dreptunghic, probabil,afli cateta AC cu t. lui Pitagora, apoi unghiurile cu rap constante in tr dreptunghic si faci raprtul lor! Cu bine.

  6. Buna sunt o eleva inclasa a 6 ma ajutati cu o problema cu mersul invers :
    Dublul unui numar a ost micsorat cu 10 apoi inmultit cu 6.Produsul obtinut,fiind marit cu 5, a fost impartit la 8 si s-a obtnut 22.Determinati numarul initial.
    Va rog!!!Mersi

    • Dublul unui numar – înmulțire cu 2
      a ost micsorat cu 10 – se scade 10.
      apoi inmultit cu 6.
      Produsul obtinut,fiind marit cu 5, – se adună 5
      a fost impartit la 8 si s-a obtnut 22.Determinati numarul initial.

      Scrie exercițiul folosind parantezele! daca nu o faci corect, te ajut în continuare. Deocamdată ți-am explicat câțiva termeni.

    • Dacă adaugi cinci comentarii, cu adrese diferite, nu ți se va răspunde mai repede! Aici nu este un serviciu contra-cost cu accesare imediată! Nici lacrimile virtuale nu impresionează!!

      Care este operația inversă împărțirii?
      A : 5 = 8
      A = 8 x 5
      Aplică mai departe în exercițiul tău și află cât este x.
      Succes!

    • Draga Raluca,
      Mai intai stabilesti ce nu cunosti.Observam ca tot ce este intre acolade este legat de necunoscuta X. Vom scrie
      3x[4x(5xX+1)-3]-2=2:2 mersul invers aplica operatia inversa!Acum necunoscuta reprezinta ce este in parantezele drepte si inmultit cu 3. Vom scrie
      3x[4x(5xX+1)-3]=2:2+2 sau facand calculele care apar, 3x[4x(5xX+1)-3]=3, am facut intai impartirea! Acum necunoscut este ceea ce se afla in parantezele drepte. Vom scrie 4x(5xX+1)-3=3:3. Acum necunoscuta este 4x(5xX+1)=3:3+3, facem calculele aparute si obtinem 4x(5xX+1)=4. Am facut intai impartirea. Acum necunoscuta este ce avem in parantezele rotunde 5xX+1=4:4. mai departe 5xX=4:4-1 sau 5xX=0, am facut intai impartirea. De unde X=0:5 si X=0. Sper ca vei intelege! Cu bine!

  7. Buna seara !

    Va rog sa ma ajutati la aceste doua probleme de clasa a VIII-a :

    1. Graficele functiilor f : R →R , f(x)= 1- 2√2x si g : R →R, g(x) =√2x – 5 se intersecteaza in punctul A. Determinati coordonatele punctului A.

    2. Se considera functia g : R →R, g(x)=x + 2. Determinati punctele de pe graficul functiei g situate la distanta √10 u fata de originea sistemului de coordonate.
    Va multumesc !

    • Draga Antonia,
      Punctul A(x,y) se afla la intersectia graficelor celor doua functii. Se rezolva sistemul format din ecuatiile y=1-2 rad2 x si y=rad 2x-5( primul ex).Pentru al doilea, faci graficul prin taieturi(afli intersectia cu axele), afli distanta de la O la graficul functiei. Fie A si B punctele pentru care OA=OB=rad10, triunghiul AOB este isoscel, iar distanta de la O la grafic,bisectoare si inaltime. Se pot afla coordonatele punctelor ce apar! Spor la treaba!

  8. Buna ziua,m-am incurcat cu un exercitiu de clasa a -IV-a…
    Irina,Teodor si Andrei au participat la un concurs. Irina si Tepdor au obtinut impreuna 559 puncte, Teodor si Andrei au impreuna 600 puncte iar Irina si Andrei au 531 puncte. Cate puncte au obtinut fiecare?

    • Draga Claudia,
      /………./========/I+T=559(1)
      /=========/——-/ T+A=600(2)
      /………/——-/ I+A=531(3).Daca adunam toate segmentele obtinem 2.(I+T+A)=559+600+531 sau2.(I+T+A)=1690 sau I+T+A=1690:2 sau I+T+A=845(4). Inlocuind pe rand 1,2,3 in 4 afli punctele fiecaruia. Sper sa te descurci! Cu bine.

  9. Buna ziua am întâmpinat dificultați la o problema de clasa a IV a ce se rezolva cu metoda mersului invers dar si cu cea grafica : La o brutarie s-au vandut intr-o zi 3/5 din numarul pâinilor facute ,iar in ziua a doua 7/8 din cantitatea ramasa.Cate paini au fost facute daca in cele doua zile au ramas 5 paini nevandute ? Cate s-au vandut in fiecare zi ?

    • Draga Cristina,
      /——–/——–/……../……../……../cu puncte 3/5 vandute, cu liniute 2/5 ramase.
      /——–/——–/ cele 2/5 ramase le impartim in 8 parti egale.
      /–/../../../../../../../ cu puncte 7/8 vandute, cu liniute 1/8 care reprezintă 5 paini.8/8 reprezinta 8.5=40 paini. Asta inseamna ca 2/5 reprezinta 40 paini, 1/5 reprezinta 40:2= 20 paini; 5/5 reprezinta 100 paini.In prima zi s au vandut 3/5 din100=100:5×3=20×3=60 paini; au mai ramas 100-60=40 paini.a doua zi s au vandut 7/8 din 40=40:8×7=5×7=35 paini.Sper ca intelegi ce ti am scris. Cu bine.

  10. Felicitari,Dani pentru blog si pentru rabdarea cu care raspunzi si celor ce intreaba lucruri simple,pe care le-ar rezolva si singuri cu un minim efort,,,,

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *