aflarea numarului necunoscut

Aflarea numărului necunoscut în clasele primare – bune practici pentru părinți (și nu numai)

Manualul pe care l-am folosit anul acesta la clasa întâi a plasat acest conținut dificil spre finalul anului școlar, nu la început, cum am văzut prin altele. Avantajele sunt destule, căci am avut timp suficient să abordăm proba adunării și scăderii, să rezolvăm probleme simple, care se reduc, în cele din urmă, la aflarea numărului necunoscut. 

Însă distracția abia acum începe, mai ales când ai parte la clasă și de copii care regretă încă faptul că nu s-au născut învățați și, cum dau de greu, lasă lacrimi de crocodil să inunde foile, poate-poate dispar și cerințele. Și dacă la școală mai e cum mai e, acasă… e jale. 

În primul și în primul rând, frustrarea copiilor e repede rezolvată de părinți. Ce-o fi găsit-o și pe-aia să facă ecuații la clasa întâi?? Încă n-am auzit-o și live, doar am citit-o pe grupuri de părinți înfuriați la culme că, uite, se îneacă cei mici în ecuații și nu pricep nimic nici când le explică ei, de ce s-o face așa ceva la școală“?

De ce?

Pentru că… numărul necunoscut e parte din viața noastră.
Ce rest trebuie să primești la magazin dacă cumperi cu o bancnotă de 50 lei o carte de 35?
Dacă în pușculiță ai 17 lei, de câți lei mai ai nevoie pentru a cumpăra aceeași carte?

Primul sfat când vrei să ajuți copilul e să deschizi manualul, ca să nu dai explicații de gimnaziu unui copil din clasele primare. Nu neapărat manualul tipărit, ci cel digital. Cel puțin în al meu există un mod simpăticuț, ca să nu zic altfel, de a explica metoda balanței pentru aflarea numărului necunoscut. Privind derularea imaginilor, îmi dădeam seama de ce e atât de complicat totuși pentru copii să înțeleagă: poate și pentru că, de niște ani buni (un deceniu cu siguranță), nu o mai vezi la piață pe tanti Mița punând greutăți pe talerele cântarului în timp ce tu privești interesat cele două ciocuri de păsări echilibrate, să nu „te fure la cântar“. Acum… cântarul e electronic. 

Chiar și jocurile de copii au astfel de instrumente, nu mai vezi o balanță de doamne-ajută, să se joace așa, cam de pe la 4 ani, să înțeleagă principiul echilibrului și dezechilibrului, cum „pui“ și cum „iei“ ca să le „egalezi“. Ei, dar lasă, au console, tablete și telefoane, la ce le folosește să se joace atâta? Fac mizerie cu nisip!

Am făcut primul pas

Sau l-am ignorat. Trecem mai departe… la introducerea în materialele auxiliare a literelor cu rol de necunoscută, care clar dau apă la moară celor care susțin că facem ecuații. Dacă scrii cu litere, așa este. Dar e mai ușor, nu? De ce să desenezi o căsuță goală? Sau să pui un semn al întrebării? Ori o floricică, un smiley… 

Orice exercițiu de forma  🙂 + 5 = 12  capătă imediat sens dacă îl „citești“: la ce număr adunăm 5 și obținem 12? 

Alte exemple:

? + 8 = 15 … Cu cât îl adunăm pe 8 să obținem 15? Cu 15 – 8. 

19 – ? = 9 … Cât scădem din 19 pentru a rămâne cu 9?

? – 13 = 7 … Din ce număr scădem 13 pentru a obține 7?

Se pare că așa merge mult mai bine, dar… greu la deal cu boii mici, la matematică e dăunător sănătății să vorbești. Când ieși la tablă, taci ca peștele, nu cumva să deschizi gura. Verbalizarea procesului grăbește înțelegerea și pentru asta ne înarmăm cu un clește ca să scoatem cuvintele și ne luptăm în același timp cu încăpățânarea copiilor, care au impresia că, dacă nu fac în gând, nu sunt suficient de isteți. Aaa, și ferească Sfântul să le ceri să scrie și cum au aflat rezultatul, nu doar să completeze pătrățica liberă. „Dar de ce? Că am găsit răspunsul!“
Ei bine, uite de-asta! Pentru că nu răspunsul mă interesează neapărat, ci drumul până acolo. 

aflarea numarului necunoscut

Greșeli…

În ultimul timp, lucrând constant și cu copii mai măricei (a treia și a patra), mă apucă toate cele când îi aud că „trecem numărul dincolo cu semn schimbat“. Care semn?! Mulțimea numerelor naturale nu are semne… are operații de adunare și scădere, ca să nu mai zic că semnul schimbat al înmulțirii nu este cel de împărțire. În mulțimea numerelor naturale, nu avem ce să schimbăm și nici ce să trecem dintr-o parte într-alta a egalului. 

Și totuși, o facem, dar cu explicații ce în primă fază par o scărpinătură oltenească. Folosești proba adunării și scăderii, proprietăți ale egalităților și, în cele din urmă, târziu, metoda mersului invers, pe care mulți le-au uitat după ce au învățat să rezolve algebric dileme ce le dădeau existența peste cap. 

În încheiere, adaug ceea ce tatăl meu mi-a spus mereu: reușita e 1% inspirație și 99% transpirație. La matematică nu poți înțelege dacă nu stai cu creionul în mână. Un algoritm se învață când e repetat de un număr suficient de ori (pentru un copil oarecare, undeva în jur de 20). Aud atât de mult că nu mai „tocim“, formăm competențe. Ca să fii competent, întâi înveți (mult, dar și bine, să ai cunoștințele necesare), exersezi, capeți deprindere, ajungi la un algoritm de rezolvare și ai o abilitate. Toate împreună definesc o competență, pe care o vei forma în timp, cu multă muncă și sudoare, plus dorință de a reuși. 

Fulgii de nea cad repede pe acest drum, nu rezistă. Vor, dar nu prea au strategia necesară.

La magazin - clasa întâi. Leul, monede și bancnote

La magazin – joc de pandemie

A doua primăvară cu restricții. Cea trecută – eram în online, la clasa pregătitoare, când am discutat despre leul românesc și despre finanțe, iar anul acesta, deși suntem la școală, restricțiile ne cam limitează creativitatea. În plus, atunci nici nu prea aveai cum să obligi părinții să se joace de-a magazinul cu copiii de 6 ani, deja prea mult ținuți în casă și plictisiți. M-am uitat în arhive, 40% din efectivul clasei au rezolvat cerința și au trimis o mică „dovadă“ a muncii depuse. Am insistat să se joace cu bani reali, să îi vadă, să îi simtă.

Apropo de bani reali, acum am discutat la școală că trebuie musai spălați dacă ne jucăm cu ei, căci nu știm în ce condiții i-au ținut posesorii lor de dinainte. Doamna, noroc că avem bani de plastic!! Da, cam așa…

La magazin - clasa pregatitoare

 

După un an… clasa întâi

Prima lecție despre Leu a avut loc tot online. Am profitat, am cerut să aibă fiecare bancnote și monede spălate, să le studieze de aproape, să vedem ce culoare au și ce desene (detalii și explicații aici). Cel mai mult ne-a dat bătăi de cap Aurel Vlaicu, singurul la care desenatorul a scris numele cu alt font decât cel cu are copiii sunt obișnuiți. Nu l-au putut citi. Dar, ca la orice lecție online, dacă nu e și un părinte care să ajute, că „ăla e Traian Vuia“, nu avea haz.

Până la urmă am deslușit scrierea. Am aflat despre fiecare câte ceva. Iorga – istoric, Enescu – „muzicant“, de-asta avea note muzicale (compozitor și interpret li s-a părut că sună complicat), Grigorescu – pictor (a fost simplu, deja s-au prins că au indicii, pensula), Aurel Vlaicu – inventator, Caragiale – tatăl lui Ionel Popescu și al lui Goe, scriitor, dramaturg e complicat la clasa întâi.

După ce ne-am jucat un pic online pe Școala Intuitext, să plătim nota la restaurant, am avut ca temă o sarcină grea: aceea de a cheltui un leu, respectiv 100 de lei. A mai crescut un pic procentul de implicare, la 70% din colectiv, dar poate și pentru că în clasa întâi temele sunt luate ceva mai în serios. Oricum, nu sunt obligatorii, de ce să îți bați capul?!

La magazin - clasa întâi

Imagini – eMag

Am continuat joaca și la școală, cu un magazin mai aproape de sufletul meu, cu cărți, o activitate mai complicată în care am combinat aritmetica cu organizarea datelor în tabele, cu orientarea în spațiu, dar și cu lectura, căci povesteau repede ce cărți au acasă, ce-au citit, ori cereau detalii despre altele pe care nu le cunoșteau. Foarte isteți, s-au prins repede că la 6-8 lei e o carte subțire, așadar ușor de citit…

La magazin - clasa întâi. Leul, monede și bancnote

Lecția s-a încheiat cu un magazin. Cum interzicerea schimbului de obiecte făcea imposibil un magazin cu jucării aduse de-acasă, cu etichete și lei de hârtie, le-am cerut să deseneze pe o foaie jucăria pe care ar pune-o în vânzare, apoi am scris prețurile pe tablă. Dezamăgire maximă că nu pot vinde tablete și console cu sute de lei decât anul viitor, când socotim până la 1000, dar i-am lăsat să combine cum doresc, astfel încât să cheltuiască 100 lei.

La magazin - clasa întâi. Leul, monede și bancnote

În ordine: tabletă, creion, PS4, pușcă, sabie, cort, Barbie cu aragaz, minge, consolă cu jocuri, casă pentru păpuși, tablou cu autograf, mașinuță, țintă, piniata.

La final, când priveam colecția (pe care nu m-a lăsat inima să o strâng), mi-am amintit cum ne jucam demult, toată gașca de la bloc, de-a magazinul, cu bancnote din frunze, cu valoare după mărime, „ștampilate“ cu vreo jucărie cu rol de sigiliu BNR, cumpărând, cu ajutorul unui cântar improvizat dintr-o pârghie, făină, orez (nisip fin sau pietricele) ori te-miri-ce-altceva. Acum te poți juca cu un cântar adevărat, chiar electronic, la supermarket găsești legume de plastic și bani tipăriți, dar… rar mai vezi gașca de la bloc lăsată liberă să-și inventeze singură jocurile și jucăriile. Acolo exersam toată vacanța aritmetica de bază și aplicam ceea ce învățasem despre unitățile de măsură. Dar aceea e copilăria altor timpuri…

multicolored abacus photography

Operații cu puteri. Compararea puterilor

Compararea puterilor care nu au nici aceeași bază și nici același exponent reprezintă o încercare deosebită pentru rezolvitori, mai ales dacă aceștia sunt abia la începutul claselor gimnaziale, iar operațiile cu puteri sunt pentru ei o noutate absolută.

Acestea se pot însă duce la capăt prin diverse artificii de calcul, ceea ce înseamnă că ne vom folosi de operațiile învățate și de proprietățile lor pentru a obține în final o formă a exercițiului utilă în formularea răspunsului. Aceasta înseamnă că deprinderile de calcul și cunoașterea proprietăților operațiilor învățate trebuie stăpânite foarte bine, achiziții cu care elevul trebuie să vină din ciclul primar.

Așadar, pentru a compara două puteri care nu au nici aceeași bază și nici același exponent, ne vom strădui ca prin aceste artificii, folosind și proprietățile abia învățate ale puterilor, să le aducem la o formă asemănătoare. Cele două variante posibile sunt:

  1. să aibă aceeași bază, ceea ce se poate, la exerciții mai simple, dacă bazele sunt puteri ale aceluiași număr.

Exemplu: Comparați puterile 28  și 47.

Putem scrie 28=22·4 = (22)4 = 44 ; 44 < 47

Sau putem scrie 47=(22)7 = 214; observăm că au aceeași bază,  8 < 14, înseamnă că  28<214, și, implicit, 28<47

  1. să aibă același exponent.

Exemplul 1: Comparați puterile 236 și 324.

Observăm că nu au nici aceeași bază, nici aceiași exponenți. Pentru a realiza ceva asemănător, ne concentrăm atenția către exponenți. Putem scrie ca produs 36=3·12, iar 24=2·12 (Din păcate, la clasa a cincea capitolul despre divizibilitate urmează, de regulă, după cel dedicat operațiilor cu puteri, și copiilor le este dificil să descompună astfel numele, căci aceste deprinderi de lucru nu intră în programa ciclului primar.  Pentru cei care știu divizibilitate, se caută cel mai mare divizor comun – cmmdc – al exponenților.)

236=2(3·12) =(23)12=812       (1)

La fel procedăm și în cazul următoarei puteri:

324 = 3(2·12) = (32)12=912     (2)

Din expresiile (1) și (2) putem trage următoarea concluzie: deoarece 8<9 => 812< 912 , ceea ce înseamnă și că 236 < 324.

Exemplul 2: Comparați 433 și 344.

Observăm că 33 = 3·11, iar 44 = 4·11 (sau cmmdc=11).

433=4(3·11) = (43)11 =6411      (1)

344=3(4·11)=(34)11=8111         (2)

Din expresiile (1) și (2) putem concluziona că, deoarece 64<81, atunci și 6411< 8111, ceea ce înseamnă că 433 < 344.

Pentru a dobândi însă deprinderi și abilități de lucru cu puteri este însă necesar un exercițiu îndelungat, rezolvarea a multe exemple astfel încât să se formeze „ochiul“, adică să deprindă algoritmii posibili pentru a duce la bun sfârșit o astfel de provocare. Operațiile cu puteri vin însă pe fondul unei adaptări dificile a copilului de 10-11 ani la orarul de gimnaziu, cu solicitări masive de modelare a comportamentului pe cerințele complet diferite ale fiecărui profesor. De la abordarea prin joacă a tuturor noțiunilor aritmetice în clasele primare, face acum un salt uriaș la lucrul cu șiruri lungi de cifre, întinse pe caiete studențești.

Recomandăm utilizarea la clasă a exemplelor simple, pentru a încuraja copii, și mai puțin direct a celor de nivel olimpic, care nu fac decât să crească nivelul de frustrare și să-i determine să abandoneze cursa matematicii chiar înainte să vadă cât de spectaculoasă este aceasta.

axa numerelor 11-20

Numerația 11-20: consolidare

Lecțiile de matematică au devenit mai complicate când, dincolo de scrierea și citirea numerelor din concentrul 11-20, am trecut la exerciții mai complicate, de ordonare și comparare. Unul din jocurile de încălzire cu care încep lecțiile este acela de a ordona pe axă numerele. Materialul l-am pregătit la începutul anului, l-am plastifiat, i-am adăugat pe spate bucățele de magnet și le pot așeza ușor pe tablă. De obicei desenez axa, pun marcajele și apoi împart jetoanele copiilor care trebuie să numere să vadă unde așază, căutând întâi cine îl are pe cel mai mic. Mai am o variantă, care presupune pe sfoară și prins cu cleme, dar nu am apucat să o fac doar cu numerele până la 10.

axa numerelor 11-20

După ce le ordonăm, le citim în ordine crescătoare, apoi descrescătoare. Mutăm deasupra axei numerele pare (sau impare, nu contează, cât timp unele sunt deasupra, unele dedesubt) și le citim doar pe acestea, crescător și descrescător. Deja marea majoritate s-au obișnuit și le facem repede. Ultima dată am apucat să rezolvăm și exerciții de comparare a două numere, sau să stabilim vecinii unui număr, care e mai mare și care e mai mic.

Din păcate, cam aici ne-am oprit cu lecțiile. Pentru că pentru unii este încă dificil, am refăcut materialul de toamna trecută, l-am micșorat pentru a se putea utiliza mai ușor pe masă sau pe covor. Am scris numerele de la 0 la 20, le-am și reprezentat cu biluțe. Materialul disponibil aici se printează (preferabil pe carton sau se plastifiază) și se decupează, astfel încât să existe jetoane cu numere și jetoane cu mulțimi. Variante de joc:

  1. Se amestecă jetoanele cu numere, se cere copilului să le ordoneze crescător / descrescător.
  2. După așezarea numerelor, realizează corespodența între acestea și cartonașele cu mulțimi, prin numărarea elementelor.
  3. Se cere să aleagă numele pare/impare și să le ordoneze crescător / descrescător.
  4. Se extrage un număr și se cere copilului să găsească vecinii acestuia, să stabilească care e mai mare, care e mai mic.
  5. Se extrag două numere și se compară, care e mai mare, care e mai mic.
  6. Se caută numere mai mari decât x și mai mici decât y, în intervalul dat. Aici este de ajutor să se reașeze toate cartonașele în ordine crescătoare. Se mai pot cere numerele aflate între două numere date, sau de la un număr dat până la altul.

Fiecare variantă de joc se repetă până se observă că nu mai întâmpină dificultăți. După jumătate de oră de lucru, cel mult 45 minute, o pauză e binevenită. Se pot relua exercițiile care au mers mai greu, dar cele noi se lasă pentru ziua următoare.

Mai jos aveți o secvență de joc cu materialul de la clasă:

Mai multe variante de exerciții cu jetoanele confecționate aveți mai jos. Toate cele propuse pot fi realizate cu jetoanele de la 0 la 20, eu am optat pentru separarea celor două intervale din două motive simple. Primul, căci poate fi folosit separat cel cu numere până la 10, al doilea, ceva mai practic, nu îmi intra în cadru tot șirul de 21 de jetoane. Nu am inclus în video exercițiile de tipul „care sunt numerele mai mari decât … și mai mici decât…”, dar se pot realiza. Ca ultim sfat, repetați jocurile până când copilul nu mai întâmpină dificultăți.

Pentru numerele de la o la 10, aveți aici suportul video.

numeratie 11-20 jocuri

Numerația 11-20 – aplicații practice (CP)

Vacanța aceasta forțată a picat cum nu se putea mai neinspirat din punct de vedere al lecțiilor de matematică la clasa mea pregătitoare. Tocmai începusem numerația de la 11 la 20, apucasem să lucrez câteva ore cu copiii, speram ca săptămâna aceasta să pot trece la adunare dacă erau la un nivel satisfăcător, dar… n-a fost să fie. Cu mulți dintre ei merge bine, însă mai e mult până departe.

Am început să lucrez pentru acest concentru încă din primele zile de școală, de la înviorarea de dimineață, care se încheie cu o serie de genuflexiuni, câte zece, pe care le număram diferit: de la unu la 10, de la 11 la 20, de la 21 la 31 (ha, aici s-au prins unii repede că e una în plus!). Ca să nu ne plictisim, variam, de la 15 la 25 sau cum mai voiau ei. Ideea era să învățăm, ca pe poezie, cum se pronunță corect numeralele, să nu avem cinșpe, ci cincisprezece. Știu că e greu, și eu mă surprind uneori pe scurtătură, dar măcar ne străduim. Nu ne-a ieșit încă. Apoi a fost calendarul, în fiecare zi, și scrierea datei, chiar dacă prin imitație.

Toate bune și frumoase, până când ne-am apucat efectiv de treabă. Să grupezi zecile nu a fost chiar atât de simplu, iar eu voiam să „vadă zecea unită“. Am legat creioanele cu elastice, astfel încât zece creioane (care formau o zece) să stea ușor împreună. Am numărat mărgele, le-am pus câte 10 în cofraje, am înșirat câte 10 mărgele pe sârmă plușată și țineam în mână o zece, am pus jetoane cu magnet pe tablă pentru mulțimi, am scos rigletele și am format numere, am făcut mulțimi de câte 10 elemente pe hârtie. Sunt copii care au înțeles ușor, sunt destui care, cu insistențe, vor reuși, și sunt unii pentru care nu știu câte exerciții vor fi necesare, cât efort de concentrare, pentru că ei nu înțeleg de ce vin la școală și care sunt regulile aici.

Ce poți să faci să „înțelegi“ numerele până la 20 (asta în speranța că accepți faptul că a le recita ca pe poezie, corect, nu e același lucru cu înțelegerea conceptului):

  • îi dai copilului un număr de creioane (între 11 și 20), și îi ceri să formeze, prin numărare, mănunchiuri de câte 10. Câte mănunchiuri ai format? Câte creioane au rămas? Pentru a scrie numărul creioanelor, se notează întâi numărul de „mănunchiuri“ (adică numărul de zeci), apoi numărul de unități rămase. Se poate repeta cu orice tip de jucării sau obiecte mici, de la boabe de fasole la nasturi, piese lego. Important este ca o zece să fie izolată/încercuită, iar unitățile rămase în afară să fie cel mult 9, altfel se formează încă o zece.
  • pentru numerele identificate mai sus, se poate realiza corespondența cu riglette. „O zece“ există deja, este piesa cea mai lungă din set, se caută apoi piesa reprezentând numărul unităților dorite.
  • reprezentarea ordinelor pe numărătoarea pozițională este mai greu de explicat online. Eu le-am arătat copiilor prima dată cu bancnote. Am scos un mănunchi de bancnote de 1 leu, pe care ei le știu din viața de zi cu zi. Nimănui nu îi place să umble la el cu atâtea hârtii, să stai să numeri mereu câte ai. Așadar regula spune că pot schimba 10 hârtii verzi cu o hârtie roz. Ce valoare are o hârtie roz? Cât 10 hârtii verzi… Abia apoi am folosit numărătoarea pozițională. Dacă la unități am 10 bile, atunci am voie să le „schimb“ cu o bilă de la zeci. Am mers mult pe culori și 10 bile verzi fac cât o bilă roșie. Pe linia de la unități nu încap mai mult de 9, când se fac 10 – le transformăm. (Pentru că discurile de la numărătoarea pozițională sunt totuși mici, am improvizat una pe tablă, folosind discuri de carton cu magnet. Am lipit bandă izolieră colorată pentru suport, dar poză nu am făcut, din păcate. Seamănă însă cu cel folosind magneți de plastic, dar bulinele de carton au diametrul 7,5 cm.)

O activitate de acest gen, care să presupună multă joacă cu material concret, e mai utilă decât 20 de fișe de completat. Pentru exemplele fotografiate mai jos am lipit pe masă o folie de plastic (aceea folosită pentru a îmbrăca manualele) și scriu pe ea cu markere pentru tablă. Se șterge ok dacă insiști un pic și suplinește cu brio o tablă acasă. Dacă această variantă nu este posibilă, se poate plastifia un carton sau se poate folosi coală albă pe care se desenează mulțimile. La reutilizare, se plasează obiectele (10) în interiorul cercului desenat deja.

Pentru început am folosit buburuzele de lemn (cum spuneam, pot fi înlocuite cu orice obiecte), le-am grupat câte 10. Au rămas 3 în afara zecii. Corespondența am făcut-o cu riglette, o zece și trei unități. Apoi am folosit bețișoarele, am format o zece și trei unități. Am scris numărul 13, întâi cifra 1, reprezentând o zece – cifra zecilor – și apoi cifra 3, reprezentând unitățile – cifra unităților. Pentru a suplini numărătoarea pozițională, folosesc magneți (puteți folosi nasturi, buline decupate, biluțe din plastilină etc. sau se poate desena efectiv), un magnet roșu reprezintă o zece și este egală cu 10 unități (verzi). Același sistem l-am folosit și la clasele mai mari, am introdus albastrul pentru sute și apoi galben pentru mii. La clasa a patra, când am trecut la milion, nu mai era nevoie, reprezentam direct, fără a mai avea un cod de culori atât de strict.

Jocul se repetă pentru toate numerele, date pe sărite, nu consecutiv. Adultul care coordonează jocul este cel care dă copilului numărul de obiecte și urmărește corectitudinea rezolvării.

numeratie 11-20 jocuri

Dacă aveți și alte idei, completări sau întrebări, nu ezitați să le lansați mai jos, în comentarii.

Joacă la matematică

E așa amuzant să te joci la matematică, încât nu înțeleg de ce atunci când chiar te joci pare „suspect“. Și spun suspect pentru că și copiii se uită ciudat de vreo două săptămâni când le spun că „învățăm despre adunare/scădere“, iar fișele noastre sunt numai cu desene și nu cu calcule. Dar e greu… și de câte ori oftez îmi aduc aminte prima întrebare pe care mi-a pus-o instructorul la școala de șoferi: A mai încercat cineva să vă învețe? – Ce bine că nu, nu am nimic de reparat! Ei bine, cam așa cu operațiile aritmetice. Dacă pentru numerația de la 0 la 10 mai mult ne-am jucat cu mulțimi, ordonări și comparări, adunarea e cu totul altă poveste.

Dacă îi întrebi pe proaspeții absolvenți de grădiniță ce înseamnă să aduni, aș pune pariu că 9 din 10 spun „să pui plus“, iar ultimul stă pe gânduri. Așa că am început altfel… am dat drumul jos unui mănunchi de creioane și am rămas cu borcanul în mână. Le-am cerut să găsească ei ce pot spune eu unui coleg astfel încât după ce el mă aude și face ce-i cer, creioanele să ajungă din nou în borcanul lor. Dacă ați jucat mimă, știți cum fac participanții când simt că sunt aproape să ghicească, dar nu nimeresc cuvântul. Așa făceau și ei. Îndemnuri mai politicoase sau nu, porunci, de toate mi-au auzit urechile. Doar zâmbeam și clătinam din cap. Unul mai înfipt chiar mi-a comentat Doamna, știu, vreți să auziți un cuvânt anume!  Oo, da! Și până la urmă l-au nimerit: adună creioanele!

Evrika! Deci… să aduni înseamnă să strângi mai multe și să pui la un loc. Greu l-am scos. Dar apoi ne-am apucat de „adunat“: aduni jucăriile în coș, aduni gunoiul, creioanele, caietele, fișele, orice se putea aduna și pune grămadă, la un loc. Au urmat apoi exercițiile pe mulțimi. Număram elementele, adăugam 1, 2, 3, 4, 5 elemente (chiar dacă erau pinguini, o bulină era suficientă), apoi număram din nou și scriam câte sunt. Am adunat puncte pe piese de domino, am făcut noi mulțimi, am adăugat și  zero și-am văzut că nu se schimbă nimic. Am adunat creioane pe bancă, câte sunt într-o mână, câte sunt în cealaltă, apoi puse toate în mănunchi. Și am trecut la balanță. Pe mijlocul ei am putea scrie mare un semn de egal, căci scopul nostru e să o facem să stea în echilibru. Câte să pui într-o parte ca să fie tot atâtea ca în cealaltă? A mers bine, dar se poate și mai bine.

După un weekend prelungit de vacanță, o luăm de la capăt… „Când vrem să adunăm…” – „Punem plus!” Nu… când adunăm punem la un loc, avem mai puțin și facem mai mult, dacă avem două mere și adăugăm alte trei, avem în total cinci. Și nu le spun că rezultatul se numește sumă sau total, nici că avem termeni, dar asta nu înseamnă că nu putem pronunța obținem în total, să se obișnuiască.

Scăderea a pornit ceva mai bine. Am desenat o linie la nivelul apei dintr-o sticlă, apoi mi-am turnat în pahar și am marcat iar nivelul. Dacă am luat apă, ce s-a întâmplat cu apa din sticlă? – A scăzut, doamna! Mda, prea simplu, au nimerit din prima. Și am început să ne gândim: avem mai mult, luăm/dăm la o parte/mâncăm, rămânem cu mai puțin decât aveam. Am trecut la creioane/carioci, căci pe acestea le aveam la îndemână. De fapt, cariocile, căci pentru ce îmi pusesem în minte, aș fi rupt vârfurile creioanelor și nu am cum să le ascut. Pune 10 carioci pe masă. Acum dărâmă 3. Cu câte rămâi? 

Cine să mai numere?? Cum adică, avem voie să le trântim pe jos și chiar ne roagă doamna să o facem?? Păi nu ea ne certa când intenționat dădeam tot bolul pe jos, ca să avem ocazie de joacă pe sub bănci?

Ce a urmat… vreo 5 minute de distracție. Până când s-au plictisit totuși să le tot dea pe jos și au preferat varianta în care doar le dăm la o parte. Și după creioane – au venit mulțimile, iar numără elementele, iar taie 1/2/3/4/5 elemente, iar numără câte rămân și scrie câte sunt… Chin, nu alta, mai ales când te pune doamna să le mai numeri o dată, că ți-a scăpat un fulg/pinguin/focă sau ce animale mai are acolo, de unde le-o lua și pe-astea.

Cu balanța însă le place. La scădere n-am mai pus creioane, am pus capace. Și eu dădeam drumul la capace, ei făceau liniște și le numărau când loveau de plasticul pe fund. Câte trebuie să luăm dintr-un taler să rămână la fel ca în celălalt? Luam cât spuneau ei și, dacă era corect, balanța se echilibra (eventual și cu puțin ajutor).

Dar distracția a fost alta. Am decupat, eu vreo câteva ore, o bunică însoțitor altă oră, elemente pentru joacă. De dimineață le-am dus la școală gata plastifiate, numai bune de pus magnet pe ele și să ne jucăm. Și… s-au apucat să facă ordine pe tablă. Au strâns literele, căci nu era destul loc, mi-au sortat păsărelele după zburătoare sau nu , au făcut perechi brioșele, au hrănit păsărelele cu mere. Dar a venit ora. Am desenat o farfurie și am început să îi scot pe rând la tablă.

  • Pune 7 mere pe farfurie… lângă farfurie scria 7.
  • Următorul era invitat să „mănânce două mere“ – și s-a și prefăcut că le ronțăie înainte să le mute mai jos, dar de dragul gripei i-am rugat să nu pună gura pe ele. Apoi a completat, după 7, „- 2”, ceea ce însemna că a luat două.
  • Al treilea participant la joc număra câte au rămas pe farfurie și scria acest lucru „= 5”.

I-am rulat pe toți, am schimbat merele cu brioșe, iar la un moment dat am zis să trecem la păsărele… Doamna, pe farfurie? Le mâncăm?? Am șters farfuria și am făcut un gard, trebuiau „gonite” și scriam ca mai sus. Au început cu teatrul, „Uș-uș! Trei păsărele zboară!” Dacă e mai folositor jocul acesta decât să scrii coloane întregi de calcule… eu sunt sigură că da.  Dacă o să rețină că adunăm atunci când punem/umplem/aducem și că scădem când luăm/mâncăm/pleacă/zboară/se sparg, o să fie ok.

Și așa începe să placă matematica, când te joci suficient să prinzi drag de ea. Încercați și acasă, merge de minune cu mașinuțe pe covor, cu parcări desenate, cu păpuși, cu piese lego, cu tot ce doriți. Copilul va reține că v-ați jucat cu el, nu că a făcut matematică.

ceas cifre romane

De ce (mai) studiem cifrele romane?

Acum niște ani vorbeam aici, pe blog, de necesitatea corelării programelor școlare la diferite discipline pentru ca atunci când una apelează interdisciplinar cunoștințe necesare să nu se lovească de un obstacol de netrecut: copilul nu a „ajuns” acolo… Atunci pe mine mă interesa direct disciplina Istorie, la clasa a IV-a, unde, chiar din primele lecții copilul învăța despre secole și notarea lor cu cifre romane, fără să le fi învățat, în prealabil, la matematică.

Revizuirea programelor în urmă cu 7 ani a adus totuși și această licărire de speranță. Cifrele romane au fost introduse la clasa a III-a, cel puțin notațiile I, V, X  permiteau scrierea secolelor până la momentul prezent, celelalte studiindu-se în clasa a VI-a. Ce-i drept, cam atât s-a făcut, corelarea cu Geografia României nu se va întâmpla în acest secol… poate în următorul. Dar salut introducerea unei brume de geografie a continentelor la clasa a IV-a și să nu-i luăm ca din oală într-a cincea când începem istoria Orientului Antic.

Ca să încep cu începutul, până la urmă e impropriu să le spunem „cifre“ romane. Nu au fost atât de inventivi încât să conceapă alte semne care să desemneze numerele, în schimb au pus la punct un sistem ce pare extrem de sucit, comparativ cu cel arab folosit azi în mod curent. Așadar, ei au găsit un mod de a reprezenta numerele cu ajutorul literelor, în combinații foarte logice cu care „și-au făcut treaba“.

Trecând peste datoria față de moștenirea noastră culturală, nu rareori am întâlnit persoane indignate că trebuie să ne mai batem capul și cu acestea. Bine, acum dacă ne aducem aminte de glumele acelea ce încurajează rasismul și intoleranța, profitând de ignoranța unora ce se scandalizează că la școală se studiază cifrele arabe… parcă îți vine să mai stai un pic să te scarpini în cap și să te minunezi!

Până la urmă, de ce le învățăm? Simplu! Pentru că încă le mai folosim. Nu pe toate, doar câteva, iar modul romanilor de a scrie astfel numerele este, pentru copii, o curiozitate, pe care o explorează cu plăcere până la un anumit nivel, dacă avem grijă să nu le dăm prea mult să le facem silă. Iarăși, nu înțeleg de unde excesul de zel… de ce să faci mai mult decât spune programa? Cifrele romane sunt menționate în cadrul competenței 2.1: Recunoaşterea numerelor naturale din concentrul 0- 10 000 (respectiv 1 000 000 la clasa a IV-a), iar activitățile de învățare recomandate orientativ lămuresc că este vorba de formarea, scrierea şi citirea numerelor folosind cifrele romane și utilizarea cifrelor romane în situaţii uzuale (de exemplu, scrierea datei), la clasa a IV-a adăugându-se transcrierea cu cifre romane a unor numere scrise cu cifre arabe. Așadar, dacă știe ce semnifică I, V, X, iar mai apoi L, C, D, M, poate citi un număr și transcrie altul, să le folosească atunci când se lovește de ele, este mai mult decât suficient pentru clasele primare.

Care este scopul efectuării de calcule aritmetice scriind cu cifre romane? Șiruri de litere în care copiii se pierd, normal, și apoi… mai sunt și sancționați că „le-a dat greșit“. Încă nu uit cum mi-a sunat telefonul… Cristina, am nevoie să mă ajuți, nu mă descurc la adunări cu cifre romane! De ce?! Nu știu la ce folosește.  Referitor la utilizarea materialelor didactice la clasă, încă nu înțeleg la ce bun să expui, pe o planșă oarecare, înghesuite, toate numerele de la 1 la 100, cu scriere romană și corespondența arabă. La ce bun? Iar în cazul în care o planșă este o opțiune, ea nu trebuie să pomenească nici de numere, nici altă denumire derivată, fără legătură cu matematica, cum am auzit recent de „Numerale Romane“. Trebuie doar să le furnizeze copiilor informațiile esențiale (care este valoarea fiecărei „cifre“), căci modul lor de compunere ar trebui să le fie cunoscut.

Suzdal Kremlin clock

Ceas cu cifre chirilice. Suzdal Kremlin, 2005 | Author= User: Simm |Permission= Creative Commons Attribution Share-Alike 2.5

Însă cel mai greu de explicat – nu numai copiilor, dar și adulților – e că nu avem „numere romane“. Numerele erau aceleași, dacă vorbim de numerele naturale cel puțin. Când romanii numărau zece oi și scriau X, tot aceeași cantitate o vedeau și dacii, chiar dacă habar n-avem cum o notau. Și egiptenii aveau reprezentarea lor hieroglifică pentru numere, grecii una care nu m-a atras atât de mult încât să o aprofundez, din care s-a inspirat și scrierea chirilică… Mai toți care inventaseră în Antichitate și mai apoi un alfabet au găsit o soluție pentru a reprezenta și numerele pentru că, nu-i așa, toți aveau cinci degete la o mână cu care numărau câte oi și capre trebuie să dea pe o femeie. (Glumesc!)

Ideea e că numărul natural e un concept universal și m-aș hazarda să spun, în limbaj matematic (pe care unii l-au uitat, deși sigur l-au învățat la școală), că reprezintă cardinalul unei mulțimi finite de elemente. Cinci degete, cinci oi, cinci semințe, toate aceste mulțimi au același cardinal: cinci, indiferent că îl scrii arab, roman sau cine știe în ce bază de numerație. Romanii nu au inventat alte numere, tot pe cele naturale le-au scris și ei. Avem noroc cu arabii că au adus în Europa cifrele indiene și folosim acum sistemul zecimal, altfel sunt sigură că matematica ar fi pierdut numeroși adepți în școală, nu că acum ar avea prea mulți prieteni!

experimente scoala

Un pic de știință la școală

În vară, când am citit plângând de-a binelea mesajele copiilor cărora le dădeam drumul spre gimnaziu, am realizat că destul de mulți menționau pe listă cât de faine au fost activitățile cu experimente de la științe. Ce-i drept, m-am străduit să nu ratez niciunul, oricât de complicat era să le pun în practică. Am reținut și sugestia lor că ar fi fost perfect să facă și ei odată cu mine… așa că la noua serie am zis să încep cu dreptul.

Am fost oarecum dezamăgită că pe lista de activități de la Festivalul de Știință din această toamnă nu am găsit nimic potrivit pentru 6 ani și care, mai ales, să vină și la școală, căci deplasare cu ei în primele două săptămâni de școală nu aș fi făcut nici picată cu ceară. Pentru a nu lăsa totuși nesărbătorită o lună a științei, le-am propus – părinților în primul rând – să organizăm o oră cu experimente. Fiecare experiment se prezenta în pereche, părinte și copil. Nu am restricționat temele, fiecare și-a ales ce voia să ne arate, dar a anunțat înainte, ca să nu ne trezim că se repetă cumva evenimentul.

Dacă tot avem o zi cu trei ore, am fixat întâlnirea după cursuri. Copiii erau destul de emoționați, se vedea că au repetat intens acasă, au venit foarte bine pregătiți (și dotați). Am văzut cum se manifestă forța de propulsie a aerului, cu balonul prins de un cd și apoi plimbând un pai pe un elastic bine întins. Un alt experiment ne-a arătat cum măsurăm volumul corpurilor care nu au o formă regulată și am intuit legea lui Arhimede.

Au urmat apoi experimente de obținere a culorilor secundare, folosind coloranții alimentari, și separarea lichidelor cu densități diferite. Au fost umflate baloane fără pompă, cu oțet și bicarbonat, am văzut cum poți confecționa o busolă – un experiment integrat, căci avea și busola de pe telefon. Îmi pare rău că nu am luat și busola mea reală, de acasă!

Am fost impresionați de aprinderea unul led folosind o baterie din lămâi, cu elemenți din zinc și cupru. Nu puteam rămâne nici eu de-o parte, așa că mi-am folosit setul de știință de la Noriel și le-am arătat cum poți aprinde un bec folosind energia vântului. E drept că am suflat în eoliană cu feonul băgat în priză… dar… nu puteam să risc să nu bată vântul la fereastra clasei. De asemenea, le-am dus magneți și pilitură de fier și le-am arătat, pe hârtie, câmpul magnetic și variația formei acestuia în funcție de forma magnetului. Am plimbat și mașinuțe cu ajutorul magneților.

experimente scoala

Tot cu magneți a mai fost un experiment pe care nu îl știam, acum am auzit prima dată. În alcool pui tonner de imprimantă. Amesteci și… vă las să vedeți filmul!

La final, am tras linie. Copiilor le-a plăcut, cred că mai mult să vină acolo împreună cu părinții decât ceea ce s-a făcut efectiv. Sunt încă mici și multe dintre cele văzute rămân „neînțelese”, însă aș vrea ca, până vor ajunge la vârsta potrivită, să știe că avem o explicație științifică pentru majoritatea fenomenelor din jurul nostru.

Eu am rămas cu o întrebare… trebuie neapărat să aflu cât de sensibil e senzorul de fum nou montat în tavan. Nu de alta, dar s-ar putea ca la experimentele de evidențiere a circuitului apei în natură ori de topire a zahărului să devin mai „celebră” decât mi-am propus vreodată. Oare cum ar suna ca titlu pe antenuțe… „Pompieri chemați inutil la școală căci o învățătoare a făcut experimente în clasă”. Daa, mai bine le pun un film, pricep cei mici că sunt isteți!

 

mini turbinca: joc cu numere

Jocuri matematice: cartonașe cu numere până la 100

O provocare a acestei toamne a fost să mă „joc” un pic pe tema matematicii cu un absolvent de clasa I. Și cum puștiul e argint viu și maestru în a se plictisi repede, am zis că nu are sens să folosesc o fișă clasică, așa că mi-am pregătit cartonașe de 5x5cm cu numerele până la 100. Materialul este micuț, poate fi folosit cu succes în activități individuale acasă sau pentru elevi la școală, tot individual sau în grupuri mici.

Am început prin a plastifia colile cu numere, pentru că nu am putut printa pe carton, să fie mai rezistente, iar coala normală era prea subțire. Din exces de zel am rotunjit și colțurile cât am căscat gura cu Iris la un serial, să nu se zgârie în ele. Le-am pus într-un săculeț și i-am spus „Mini-turbinca”, poate îi fac și chef de citit. Era mai interesant dacă le printam color, dar am doar imprimantă simplă acasă.

mini turbinca: joc cu numere

Pentru început se extrag șase numere (puteți cere oricâte, dar să nu fie nici prea multe, nici prea puține). Copilul trebuie să le citească pe fiecare, apoi trebuie să le așeze în ordine crescătoare/descrescătoare. După acest moment puteți face cam orice doriți:

  • să identifice numărul care are cifra zecilor cu X mai mare/mai mică decât a unui anumit număr din serie, pe care i-l indicați;
  • să identifice numerele care au suma cifrelor identică/au aceeași cifră a unităților sau aceeași a zecilor/cifra unităților identică cu cea a zecilor;
  • să afle cu cât este mai mic primul număr decât ultimul;
  • cu cât este mai mare penultimul față de al doilea;
  • să adune două dintre numere, la alegere (verificați repede dacă adunarea nu depășește suta);
  • să scadă două numere la alegere sau din cel mai mare pe toate celelalte (cinci operații diferite); puteți avea cartonașe albe, să scrie rezultatele obținute, să le așeze corespunzător și să observe că și acestea sunt în ordine, dar inversă față de cea folosită pentru așezarea numerelor la început;
  • dacă numerele sunt mici, să adune trei dintre ele (aceeași observație cu suta).

În felul acesta acoperiți cu un joc citirea, scrierea și ordonarea numerelor până la 100, dar și efectuarea operațiilor de adunare și scădere cu trecere peste ordin. Poate avea la îndemână orice material dorește pentru ajutor, însă vă recomand o tăbliță magnetică, aceea pe care desenează copiii mici și șterg imediat. Va avea senzația că scrie la tablă.

E drept că e un joc un pic mai greu pentru adulții neobișnuiți, dar cu puțină practică sunt sigură că vă veți descurca. Cu anumite limite, puteți să le folosiți pe cele până la 31 pentru copiii care trec clasa întâi, sau până la 10 (fără zero) pentru cei care abia intră la pregătitoare. În ultimul caz, trei cartonașe sunt suficiente la extragere.

Dacă aveți un copil foarte tehnic și dependent de telefon, îl puteți învăța cum să își verifice rezultatele obținute cu calculatorul. Așa poate descoperă și ei la ce poate fi folosită cu adevărat această unealtă de-o ținem mereu după noi. Dacă tot suntem aici, nu ar fi rău să îi căutați niște cărți de citit pe telefon, căci nu multora le-a trecut prin cap că telefonul poate fi și carte.

Fișierul pentru imprimarea planșelor va fi trimis în data de  2 octombrie 2019 abonaților la newsletterul Talente de Năzdrăvani (puteți să vă abonați aici). După această dată este disponibil doar la cerere celor care fac o donație către acest site prin PayPal sau cu cardul.

Mulțumesc pentru sprijin, pentru înțelegere și pentru respectul acordat muncii mele de-a lungul timpului.

numeratie_11-20

Numerația 11-20: planșe ilustrative

Cel mai dificil concentru de abordat la matematică mi se pare 11-20. Cred că aici e cheia înțelegerii sistemului zecimal de numerație și a trecerii peste ordin. Dacă aici le faci pe toate cum trebuie, mai târziu doar extinzi algoritmul. Până una alta, pentru ilustrarea seriei de numere am ales o formulă organizată și economică vizual, căci nu aveam de gând să mai pun pe pereți alte 10 planșe, după cele cu mulțimi. Și nici prin cap nu-mi trece să le pun pe toate, până la 31 sau apoi, în clasa întâi, până la 100… inutil și spațiu irosit degeaba.

Apoi, cred că în această formulă poți trece un pic mai departe la lucrul cu simboluri și niște buline sunt suficiente, mai ales că aduce un pic cu numărătoarea cu bile pe care fiecare o are.

Ca expunere, am evitat de această dată să desenez mulțimea. Am vrut să vadă, cât se poate de evident, corespondența dintre poziția ocupată de cifră, semnificația acesteia și numărul concret de unități. Am evitat, de asemenea, să folosesc pentru mărgele culorile cifrelor, căci dacă coloram 10 buline folosind culoarea zecilor, atunci erau 10 zeci, deci o unitate de ordin superior, o sută. Am grupat „o zece” (zece unități) într-un chenar roșu, care să corespundă numărului de zeci indicate, la care se adaugă unitățile rămase libere. De asemenea, l-am adăugat și pe 10, ca să se vadă „o zece” întreagă și zero unități. A fost mai greu cu 20, care e mai lat ca să respecte corespondența, însă le voi lipi una de alta în serie, la locul lor, și nu cred că vor fi probleme.

Cât ne vom opri la acest concentru vom folosi și bețișoarele, însă la cum văd că arată cele din comerț, de le pierzi printre degete, voi lucra cu creioane. Vreau ca în suportul de creioane individual să existe un set de 12 creioane colorate, plus alte instrumente – carioci, creioane simple, și cu siguranță se strâng până la 20 de obiecte. Am văzut și câteva seturi cu bețișoare de lemn, frumos colorate, chiar și cutie să le poți așeza, dar dacă nu au toți, tot degeaba. Creioanele vor fi perfecte.

Am lăsat colorate diferit cifrele pentru a marca cumva ceea ce reprezintă fiecare. „1” roșu este o zece, pentru că avem un singur grup de zece buline. Cifra albastră arată câte unități au rămas în afara chenarului. Când avem alte zece buline, putem constitui încă un grup, a doua „zece”, și atunci cifra zecilor se modifică, devine 2.

numeratie_11-20

Referitor la acest concentru, descompunerea numerelor va ocupa perioada cea mai lungă de exerciții și aici mă gândesc la unele variante. Cea mai „ieftină” este cu creionul pe hârtie, să desenezi liniuțe. Dar variante plăcute sunt cu elemente de lipit, cu altele de manevrat, cu mărgele de înșirat. (Toate însă depind de… Nu mai zic, că nu e plăcut.) Chiar dacă programa te limitează, la nivelul operațiilor, la o diferență de cel mult 5 unități, descompunerea numerelor trece, cu ajutorul materialului intuitiv, peste aceasta și va fi de mare ajutor ulterior, la operațiile cu trecere peste ordin.

Mi-aș dori foarte mult să am la clasă o numărătoare mare, din aceea cum aveam când eram copil. Țin minte că eram toți fascinați în pauză să plimbăm bilele, să le numărăm, să socotim, să le punem câte două, câte trei… din timpul orelor nu-mi mai amintesc decât că, dacă la tablă nu se descurca un coleg, trecea imediat la numărătoare să calculeze. Mă îndoiesc că vom primi de la primărie, deci rămâne pe lista dorințelor ne-urgente.

Copiii le vor avea pe ale lor, mici, probabil și eu la fel. Oricum, sper să arate ca cea din imaginea alăturată, mult mai ușor de folosit la calcule, căci are seriile colorate câte 5 și mai ales nu are fiecare zece colorată diferit, să te ia durerea de cap de la atâtea culori. Cele de lemn sunt frumoase, însă foarte scumpe, așa că voi căuta variante din plastic, mai ieftine. Ce va fi… vom vedea.

Materialul este disponibil celor care în ultimele patru luni au făcut o donație către acest site. Cei care au donat prin PayPal l-au primit deja la adresa de mail pe care au folosit-o pentru donație, dar și cei care au folosit cardul (există în partea de jos a formularului opțiunea de utilizare a cardului dacă nu ai cont de PayPal, unde sunt iconițele Visa si Mastercard) la adresa de mail menționată în tranzacție. Vă rog ca în momentul unei donații ulterioare datei publicării articolului să solicitați, printr-un comentariu, cu aceeași adresă de mail, materialul dorit.

Mulțumesc pentru sprijin, pentru înțelegere și pentru respectul acordat muncii mele de-a lungul timpului.