Matematica: ultima cifra a unui numar natural

Mi-am propus să o dezvolt într-o mică expunere pentru cei interesaţi o temă pe care nu o găsim expusă sistematic în manualul şcolar, dar solicitată de multe ori aici pe blog.

Prin ultima cifră a unui număr înţelegem cifra unităţilor. Ultima cifră a numărului 4 este 4. Ultima cifră a numărului 23 este 3. Ultima cifră a numărului 157 este 7.

Se notează astfel:

  • U(4) = 4
  • U(23) = 3
  • U(157) = 7

Putem să extindem această noţiune pentru o sumă, pentru un produs în felul următor.

U(a+b)=U(a)+U(b) şi U(a*b)=U(a)*U(b).

Iată câte un exemplu.

U(12+17)=U(12)+U(17)=2+7=9
şi
U(12*17)=U(12)*U(17)=U(2*7)=U(14)=4.

Dacă vom studia ultima cifră a numerelor vom observa că unele au mereu ultima cifră aceeaşi, altele nu. Din prima categorie fac parte numerele care se termină cu 0, 1, 5 si 6. Să considerăm câte un exemplu din fiecare.

Fie 10 1=10; 10 2=100; 10 3=1000 şamd.
Observăm că 10 ridicat la orice putere, diferită de zero, are ultima cifră 0.

Fie 11 1=11; 11 2=121; 11 3=1331, şamd.
Observăm că 11 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.

Fie 5 1=5; 5 2 =25; 5 3=125, şamd.
Observăm că numărul 5 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 5.

Fie 6 1=6; 6 2 =36; 6 3=216, şamd.
Observăm că numărul 6 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 6.

Din cele prezentate reţinem următoarele:

a) Un număr care are ultima cifră 0 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 0.
b) Un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.
c) Un număr care are ultima cifră 5 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 5.
d) Un număr care are ultima cifră 6, ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 6.

Pentru un numar care are ultima cifră diferită de cele de mai sus, se procedează ca in exemplul urmator.

Să se afle ultima cifră a numarului 2 2015. (Se procedează la fel pentru 12 2015).

Calculăm câteva puteri. 2 1=2; 2 2=4; 2 3=8; 2 4=16; 2 5=32; 2 6=64; 2 7=128; 2 8=256; şamd.
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 2 4 sau 8 sau 12 sau 16…, are ultima cifră 6 ( un număr cu ultima cifră 6).
Din acest motiv, împărţim 2015 la 4 şi obţinem câtul 503 şi rest 3, ceea ce se scrie 2015=503×4+3.
Vom scrie U(2 2015)=U( 2 503×4+3)=U( 2 503×4)*U( 2 3)=U(( 2 4) 503)*8=U( 16 503)*8= U(6*8)=  =U(48)=8.

Ca temă, calculati, după acelaşi model, 3 2015, 4 2015, 7 2015, 8 2015 si 9 2015.

Cu aceste minime cunoştinte putem afla ultima cifră pentru diverse sume si produse.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor si sistemelor de ecuatii

Aş vrea să prezint în cele ce urmează cum trebuie să procedăm atunci când rezolvăm probleme cu ajutorul ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii. Orice problemă de matematică am avea de rezolvat, ea trebuie mai întâi înţeleasă, trebuie să găsim legaturile ce există între mărimile date în textul ei şi apoi să-l transpunem în limbaj matematic.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor sau sistemelor de ecuaţii se face parcurgând câteva etape obligatorii, fără a fi necesar să le precizăm de fiecare dată în scris, în redactarea rezolvării.

Paşii necesari:

  1. găsirea necunoscutei (necunoscutelor) din problemă;
  2. scrierea modelului matematic (a ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii);
  3. rezolvarea ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii;
  4. verificarea şi interpretarea rezultatului găsit. De ce şi interpretarea rezultatului? Pentru că ne putem da seama de eventualele greşeli de calcul pe care le-am făcut! 

Precizez că şi aici trebuie să cunoaştem foarte bine semnificaţia cuvintelor cheie:

  • cu atât mai mult – adunare;
  • cu atât mai puţin – scădere;
  • de atâtea ori mai mult – înmulţire;
  • de atătea ori mai puţin – împărţire;
  • numărul x mărit cu 2 se scrie x+2;
  • numărul x micşorat cu 2 se scrie x-2;
  • numărul x mărit de 2 ori se scrie 2x;
  • numărul x micşorat de doua ori se scrie x:2, etc.

Voi rezolva ca model câte o problemă din fiecare.

1. Un număr este cu 2 mai mare decât altul. Aflaţi numerele dacă suma lor este 24.

Fie x numărul mai mic; celălalt este x+2.

Obţinem ecuatia: x+x+2=24
2x+2=24
2x=24-2
2x=22
x=22:2
x=11(I)
11+2=13(II)

Verificare:11+13=24

2.Suma a două numere este 24, iar diferenţa lor este 4. Aflaţi numerele.

Fie x şi y numerele necunoscute.
Obţinem sistemul x+y=24 & x-y=4.
Adunăm membru cu membru şi obţinem 2x=28 & x+y=24
x=28:2 & x+y=24, de unde
x=14 & 14+y=24 sau
x=14 & y=24-14 sau
x=14 & y=10

Verificare 14+10 =24 & 14-10=4.

Culegerile de probleme existente pe piaţa  conţin multe astfel de probleme. Cu cât rezolvăm mai multe  probleme cu atât ne vom descurca mai bine ca rezolvitori!

 


Proprietatile egalitatilor in multimea numerelor naturale

Fie a şi b două numere naturale; scrierea a=b desemnează egalitatea numerelor a şi b. În această egalitate, a se numeşte membrul stâng al egalitaţii (membrul întâi al egalitaţii), iar b membrul drept al egalitaţii (membrul doi al egalitaţii). Exemple: 5=5, 7=7, 100=100.

1. Dacă avem o egalitate şi adunăm în ambii membri acelaşi număr natural, obţinem tot o egalitate. Din 3=3, adunând 7 în ambii membri, obţinem 3+7=3+7, sau 10=10, adică tot o egalitate.

2. Dacă avem o egalitate şi scădem din ambii membri acelaşi  număr natural (scăderea să se poată face), obţinem  tot o egalitate. Din 11=11, scăzând 6 din ambii membri, obţinem 11-6=11-6, sau 5=5, adică tot o egalitate.

3. Dacă avem o egalitate şi înmulţim ambii membri cu acelaşi număr natural, obţinem tot o egalitate. Din 8=8, înmulţind ambii membri cu 7, obţinem 8*7=8*7, sau 56=56, adică tot o egalitate.

4. Dacă avem o egalitate şi împărţim ambii membri cu un număr natural diferit de zero şi împărţirea se poate face, obţinem  tot o egalitate. Din 15=15, împarţind ambii membri cu 5, obţinem 15:5=15:5, sau 3=3, adică tot o egalitate.

5. Dacă avem două egalităţi şi le adunăm membru cu membru, obţinem tot o egalitate. Din 4=4 şi 7=7, adunând membru cu membru obţinem 4+7=4+7 sau 11=11, adică tot o egalitate.

6. Dacă avem două egalităţi şi le scădem membru cu membru şi scăderea se poate face, obţinem tot o egalitate. Din 13=13 si 5=5, scăzând membru cu membru obţinem 13-5=13-5 sau 8=8, adică tot o egalitate.

7. Dacă avem două egalităţi şi le înmulţim membru cu membru, obţinem tot o egalitate. Din 14 =14 si 3=3, înmulţind membru cu membru obţinem14*3=14*3 sau 42=42, adică tot o egalitate.

8. Dacă avem  două  egalitaţi şi le împărţim membru cu membru şi împărţirea se poate face, obţinem tot o egalitate. Din 18=18 si 6=6, împărţind membru cu membru, obţinem 18:6=18:6 sau 3=3, adică tot o egalitate.

Observaţie: Proprietăţile egalităţilor rămân valabile şi în celelalte mulţimi de numere: întregi, raţionale, iraţionale, reale. Unele restricţii nu mai sunt necesare, altele se menţin.

Ca exerciţii puteţi încerca cele de mai sus şi pe alte exemple.


Cariera de elev: repetent sau corigent?

În ultimul timp am observat cu tristeţe că din ce în ce mai mulţi elevi vin la şcoală nepregatiţi. Nu-şi învaţă lecţiile, nu-şi fac temele, nu sunt disciplinaţi. Instrumentele de “constrângere” aflate la îndemâna unui profesor au scăzut îngrijorător. Nota la purtare nu-i mai interesează!

Corigenţa parcă nu-şi mai are rostul. Vin la corigenţa şi cu un efort “mai mic” decât minim, trece clasa pentru a reveni anul următor – la aceeaşi corigenţă – de parcă nu s-ar fi întâmplat nimic. Se fac în şcolile noastre o sumedenie de studii, acesta ar trebui să fie unul dintre ele: în ce măsură corigenţa reprezintă un punct „normal” în cariera unui elev.

Îndrăznesc să mă gândesc în acest sens la eliminarea corigenţei şi a repetenţiei. Pentru aceasta propun să notăm în mod real elevii, cu note, cu adevărat de la 1 la 10. În acest mod avem o situatie reală asupra modului cum învaţă în prezent copiii. De ce să le dăm nota cinci la corigenţă, pentru că el nu a învăţat cu adevărat niciodată?!

Va trece clasa cu medii de doi şi trei, va fi şi mai uşor la repartizare la liceu, pentru că nu poate ridica pretentii. Ar mai fi ceva. Între cel care învaţă permanent şi are nota 10 şi cel care nu învaţă sistematic şi are nota 5, distanţa este prea mică, şi nu reflectă deloc realitatea. Dacă cel ce nu învaţă ar avea media, ori medii de 2, am fi mai aproape de adevăr. Ar trebui luat în seamă că, în ultimul timp, la Evaluarea naţională, sunt destui elevi care au note sub 5 şi tot intra la liceu. Atunci de ce să nu notăm aşa cum am propus mai sus?

Nu propun acest lucru pentru a-i pedepsi pe cei care nu consideră că şcoala merită o investiţie de efort, ci pentru a le recunoaşte cu adevărat meritele acelor elevi pentru care şcoala reprezintă o treaptă în dezvoltarea lor.


Rezolvarea problemelor de matematica prin metoda reducerii la unitate

Prin această metodă se rezolvă multe probleme de matematică, în care datele depind unele de altele.
Pentru cei pasionaţi de matematică, aici se încadrează problemele în care apar mărimi direct proporţionale şi invers proportionale, care se rezolvă prin procedeul proporţiilor şi prin procedeul reducerii la unitate folosit în clasa a IV-a. Voi exemplifica prin rezolvarea câtorva probleme. Se numeşte metoda reducerii la unitate deoarece, întotdeauna, se află cât valoreaza unitatea.

Problema 1. O persoană cumpără 5 kg de mere şi plăteşte 15 lei. Dacă va cumpăra 7 kg de mere de aceeaşi calitate, cât va plăti?
Rezolvare. Dacă 5 kg de mere valoreaza 15 lei, atunci 1 kg va costa de 5 ori mai puţin,
adica 15 lei : 5 = 3 lei. 7 kg de mere vor costa de 7 ori mai mult, adică 3 lei x 7 = 21 lei.

Calculele se pot aseza astfel:
5 kg ………………………………..15 lei
1 kg…………………….15 lei : 5 = 3 lei
7 kg…………………….3 lei x 7 = 21 lei

Problema 2. Un bazin se umple prin 3 robinete în 15 ore. În cât timp vor umple acelaşi bazin 9 robinete care au acelasi debit?
Rezolvare. Dacă bazinul se umple folosind 3 robinete în 15 ore, un singur robinet o va face într-un timp de 3 ori mai mare, adică 15 ore x 3 = 45 ore. Cele 9 robinete vor umple bazinul într-un timp de 9 ori mai mic, adică 45 ore : 9 = 5 ore.

Calculele se pot aseza astfel:
3 robinete……………………………………………15 ore
1 robinet…………………………..15 ore x 3= 45 ore
 9 robinete………………………….45 ore : 9=   5 ore

Pentru cei ce cunosc operaţii cu fracţii, voi rezolva o problema la nivelul clasei a VI-a, tot prin metoda reducerii la unitate.

Problema 3. Pentru a ara 810 ha de teren arabil, 6 tractoare au lucrat 45 de zile. Dacă ar trebui să arăm 2100 ha şi dispunem de 10 tractoare, cât timp le va fi necesar? (Presupunem că tractoarele îndeplinesc aceeaşi normă).

Rezolvare. În acest caz, vom reduce, pe rând, la unitate, suprafaţa şi numărul de tractoare, apoi se revine, invers, la datele cerute. Dacă 810 ha au fost arate de 6 tractoare în 45 de zile, 1 ha va fi arat de 6 tractoare în 45 zile : 810.
Tot 1 ha va fi arat de 1 tractor într-un timp de 6 ori mai lung adică (45 zile : 810) x 6. 
Tot 1 ha va fi arat de 10 tractoare  mai repede, adică [(45 zile :810)x 6] : 10.
Pentru a ara 2100 ha va dura mai mult, adică {[( 45 zile : 810)x 6] :10}x 2100
şi după efectuarea calculelor obţinem 70 de zile. 

Calculele se pot aseza astfel:
810 ha…………….6 tractoare………………….45 zile
 1 ha………………6 tractoare…………………..45 zile:810
 1 ha………………1 tractor……………………..(45 zile:810)x 6
1 ha………………10 tractoare………………….[(45 zile:810)x 6]: 10
2100 ha………..10 tractoare……………..{[(45 zile:810)x 6]: 10}x 2100= 70 zile   

Vă propun spre rezolvare următoarele probleme:
1. O gospodină a cumpărat 13 kg de cartofi şi a plătit 26 de lei. Cât a plătit alta gospodină, dacă a cumparat 7 kg de cartofi de aceeaşi calitate?
2. O echipă de 50 de muncitori termină o lucrare în 30 de zile. În cât timp va termina aceeaşi lucrare o echipă de 15 muncitori? (Toţi muncitorii îndeplinesc aceeaşi normă).
3. Un fermier are 5 vaci, care timp de 30 de zile consuma 1800 kg de furaj. Cât furaj consumă 12 vaci în 18 zile, daca raţia (porţia) unei vaci pe zi rămane aceeaşi?

Postează într-un comentariu la acest articol rezolvarea, şi vei primi răspuns dacă este corectă.

 


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.


Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda falsei ipoteze

Problemele care se pot rezolva prin această metodă sunt de două tipuri. Cele de tipul unu necesită o singură ipoteză, iar cele tipul al doilea, două sau mai multe ipoteze succesive.

Metoda se numeşte a falsei ipoteze, deoarece se consideră că ipoteza nu corespunde cu adevărul.

Pentru exemplificare voi rezolva următoarea problemă:

Într-un bloc sunt apartamente cu două camere şi cu trei camere, în total 20 de apartamente şi 45 de camere. Câte apartamente au două camere şi câte au trei camere?

Rezolvarea I. Presupunem că în bloc sunt numai apartamente cu două camere şi atunci vor fi

20 x 2 camere = 40 camere.

Diferenţa de camere,

45-40= 5 camere

apare din faptul că sunt şi apartamente cu trei camere. Cele 5 camere le vom împarţi, adăugând câte una, 5:1= 5, la 5 apartamente, pentru că unele au 3 camere. Înseamnă că sunt 5 apartamente cu trei camere, iar cu două camere vor fi

20-5=15 apartamente.

Rezolvarea II. Presupunem că în bloc sunt numai apartamente cu trei camere şi atunci vor fi

20x 3 camere= 60 camere.

Diferenţa de camere,

60-45= 15 camere

apare din faptul că sunt şi apartamente cu două camere.Vom lua câte o cameră de la 15:1=15 apartamente.Vor fi 15 apartamente cu două camere, iar cu trei camere vor fi

20-15= 5 apartamente.

Rezolvaţi asemănător problemele:
1) Într-un bloc sunt apartamente cu 4 camere si cu 2 camere, în total 24 apartamente şi 68 de camere.Câte apartamente sunt de fiecare tip?
2) Într-o curte sunt găini şi iepuri, în total 33 de capete şi 106 picioare. Câte găini şi câţi iepuri sunt în curte?

Postează răspunsurile tale la acest articol şi vei afla dacă ai rezolvat corect.

Spor la lucru!


Important!
Nu posta probleme fără a menționa în ce clasă ești și neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au împotmolit la rezolvare.
Mesajele care conțin doar cerintele problemei vor fi mai mult ca sigur ignorate.


 

Rezolvarea problemelor de matematica prin metoda mersului invers

Această metodă de rezolvare a problemelor de matematică se aplică problemelor în care datele depind succesiv unele de altele. Enunţul problemei trebuie urmărit de la sfârşit către început.
În timpul rezolvării efectuăm operaţia inversă celei care apare în enunţ, ceea ce înseamnă că nu numai mersul este invers, ci şi operaţiile pe care le facem sunt inverse celor celor din enunţul problemei.
Proba se face aplicând numărului determinat operaţiile din enunţul problemei. Voi exemplifica prin rezolvarea următoarei probleme:

M-am gândit la un număr, l-am înmulţit cu 10, la rezultat am adunat 16, suma am împarţit-o la 6, iar din cât am scăzut 10, obţinând 56. Aflaţi numărul.

Rezolvare I.
Numărul din care am scăzut 10 este

56 + 10 = 66.

Numărul care împărţit la 6 dă 66 este

66×6= 396.

Numărul care adunat cu 16 dă 396 va fi

396 – 16 = 380.

Şi în sfârşit, numărul care înmulţit cu 10 dă 380 este

380 :10= 38.

Numărul căutat este 38.

Rezolvare II.

Redactarea rezolvării o puteam aranja şi astfel: notăm cu a numărul necunoscut şi obţinem:

( a x 10 + 16 ) : 6 – 10 = 56.

Calculele se ordonează astfel:

( a x 10 + 16 ) : 6 = 56 + 10
( a x 10 + 16 ) : 6 = 66
a x 10 + 16 = 66 x 6
a x 10 + 16 = 396
a x 10 = 396 – 16
a x 10 = 380
a = 380 : 10
a = 38

Proba sau verificarea rezultatului este următoarea: 38×10=380, apoi 380+16=396 şi 396:6= 66; în sfârşit, 66 -10 = 56, ceea ce corespunde enunţului.

Rezolvaţi, folosind aceeaşi metodă, problema:

Un număr se împarte la 7, din cât se scade 17, diferenţa se înmulţeşte cu 5, iar la produs se adună 15, obţinându-se astfel 20. Aflaţi numărul.


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.


Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda comparatiei

În cele ce urmează voi prezenta rezolvarea unei probleme prin metoda comparaţiei sau metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie. În aceste probleme apar două mărimi, care pot fi comparate în acelaşi mod şi sunt caracterizate de câte două valori.

Metoda constă în a aduce una dintre mărimi la aceeaşi valoare, având apoi de aflat o singură mărime. Aşezarea datelor problemei trebuie urmărită cu stricteţe. Voi prezenta rezolvarea unei probleme prin aceasta metodă.

Se dă următoarea problemă:

 4 metri de stofă şi 3 metri de postav costă 1250 de lei, iar 2 metri de stofă şi 6 metri de postav costă 1300 de lei.
Cât costă metrul de stofă şi cât costă metrul de postav?

Datele problemei le aşezăm astfel:

4 m stofă … 3 m postav … 1250 lei  (1)
2 m stofă … 6 m postav …. 1300 lei  (2)

Rezolvarea I

Dacă luăm cantităţi duble, adică înmulţim cu 2 cantităţile celui de al doilea rând (2), preţul se dublează, şi vom scrie:

4 m stofă … 3 m postav … 1250 lei
4 m stofă ….12 m postav …2600 lei

Cum cantitatea de stofă este aceeaşi, înseamnă că diferenţa de preţ apare datorită diferenţei cantităţilor de postav, aşadar:

 12m-3m= 9 (m de postav),
care costă
2600 -1250 =1350 (lei)
Un metru de postav va costa
1350 : 9 = 150 (lei)

Vom continua astfel:

 3 metri de postav costă 3×150 = 450 (lei)

atunci

 4 metri de stofă vor costa 1250 – 450 = 800 (lei.)
Un metru de stofă va costa 800 : 4 = 200 (lei)

Răspunsul este:

 1 m stofă costă 200 lei, iar 1 m postav 150 lei.

Rezolvarea II

Dacă vom lua cantităţi duble, adică înmulţim cu 2 cantitătile primului rând (1), preţul se dublează, vom scrie:

8 m stofă … 6 m postav ….2500 lei
2 m stofă … 6 m postav …1300 lei

 Cum cantitatea de postav este aceeaşi, înseamnă că diferenţa de preţ apare datorită diferenţei cantităţilor de stofă, deci

 8 – 2 = 6 (m de stofă),
care costă
2500 -1300 = 1200 (lei)
Un metru de stofă va costa
1200 : 6 = 200 (lei)

Vom continua astfel:

 4 metri de stofă costă 4 x 200 = 800 (lei)

atunci

 3 metri de postav costă 1250 -800 = 450 (lei)
Un metru de postav va costa 450 : 3= 150 (lei)

Am obţinut aceleaşi rezultate ca mai sus, răspunsul este:

 1 m stofă costă 200 lei, iar 1 m postav 150 lei.

Observaţie: Întâmplarea a făcut ca de fiecare dată să dublăm cantităţile. Le putem înmulţi cu 3, cu 4 sau împărți etc.

Vă propun spre rezolvare, în cele două moduri, următoarea problemă:
7 metri de postav şi 5 metri de stofă costă 2050 lei, iar 3 metri de postav şi 4 metri de stofă costă 1250 lei.
Să se afle cât costă metrul de stofă şi metrul de postav.

Spor la lucru!


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.

 


 

Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda figurativa

În săptămânile ce urmează voi prezenta, la nivel de clasa a IV-a, trei metode de rezolvare a problemelor de matematică: metoda figurativă (grafică), metoda comparaţiei şi metoda mersului invers.

Atunci când rezolvăm probleme de matematică trebuie să avem în vedere următoarele: întâi de toate, înţelegerea problemei şi exprimarea în limbaj matematic a relaţiilor dintre mărimile care apar în textul acesteia.

Mă refer la următoarele formulări, care dețin, de cele mai multe ori, cheia rezolvării unei probleme:

  • Expresia *cu atât mai mult* înseamnă o adunare;
  • Expresia *cu atât mai puţin* înseamnă o scădere;
  • Expresia *de atâtea ori mai mult* înseamnă o înmulţire;
  • Expresia *de atâtea ori mai puţin* înseamnă o împărţire.

Următoarele exprimări sunt folosite destul de des în culegerile matematice. Sunt însă de evitat, dat fiind faptul că un „număr” nu poate fi „mărit”, cel mult putem afla un alt număr care este „mai mare cu…” decât numărul ales. Însă ele apar, și e bine să le cunoașteți.

*măriţi cu 2 numărul X* X+2;
*micşoraţi cu 2 numărul X*, X-2;
*măriţi de 2 ori numărul A*, Ax2;
*micşoraţi de 2 ori numărul A*, A:2.

Atenţie mare așadar la exprimările ce apar în textul problemelor! Dacă întâlniți asemenea expresii, este util să notați deasupra lor semnul operației matematice pe care o indică, vor ușura rezolvarea.

 

De regulă, atunci când avem de rezolvat o problemă, încercăm mai întâi să o încadrăm într-un anumit tip, pentru care cunoaștem un algoritm de rezolvare.

Voi prezenta acum rezolvarea unei probleme prin metoda figurativă. Esenţial în rezolvarea problemelor cu această metodă este realizarea unui desen, o figură, care corespunde enunţului dat.

Problemă: Un număr este cu 3 mai mare decât altul. Să se afle numerele, ştiind că suma lor este 25.

Rezolvare(I)

Din enunţ ne dăm seama că:

  • nu cunoaştem 2 numere;
  • unul dintre ele este cu 3 mai mare;
  • suma celor 2 numere este 25.

Realizăm următorul desen:

 

Observăm că, dacă am elimina din suma numerelor 3, adică am lua din numărul mai mare 3 unităţi, cele două segmente desenate devin egale. Scopul acestei metode de rezolvare este acela de a obține pe desen un număr de părți egale, care să ne ajute apoi la identificarea necunoscutelor.

Vom scrie:

25-3=22, unde 22 reprezintă suma celor două numere, dacă al doilea ar fi egal cu primul.

Câte părți egale am obținut în desen, după ce am eliminat 3?

1+1 = 2 (părți egale)

Dacă suma a două părți egale este 22, putem afla cât reprezintă o parte egală, împărțind suma la numărul de părți egale identificate.

22: 2=11 (reprezintă o parte egală, în problema noastră aceasta reprezentând numărul mai mic.

Am aflat în acest mod numărul mai mic, celălalt poate fi aflat în două moduri. Ori adunăm unitățile îndepărtate inițial:

11+ 3= 14,

Sau scădem din sumă numărul pe care l-am aflat:

25-11=14.

În concluzie numerele sunt 11 şi 14, ceea ce se verifică uşor (11+14=25). Nu uitaţi, după ce aţi rezolvat o problemă, verificaţi întotdeauna rezultatul obţinut!

Rezolvare(II)

Se poate realiza şi următorul desen:

Observăm că, dacă am adăuga la numărul mai mic 3 unităţi, suma ar creşte cu 3 şi numerele devin egale. Obținem așadar două părți egale.
Vom scrie

25+ 3=28, unde 28 este suma numerelor, dacă primul ar fi egal cu al doilea.

Câte părți egale am obținut în desen, după ce am adăugat 3?

1+1 = 2 (părți egale)

Dacă suma a două părți egale este 28, putem afla cât reprezintă o parte egală, împărțind suma la numărul de părți egale identificate.

apoi

28: 2=14.

Am aflat în acest mod numărul mai mare. Celălalt poate fi aflat tot în două moduri. Ori eliminăm unitățile îndepărtate inițial:

14-3=11,

Sau scădem din suma inițială numărul pe care l-am aflat:

25-11=14

Deci, numerele sunt 11 şi 14, rezultate obţinute şi prin prima variantă de rezolvare.

 

În final aş atrage atenţia că nu este de ajuns să ştiu în ce constă metoda figurativă şi să rezolv o problemă, două… Fiecare problemă aduce un element de noutate şi trebuie să ne punem în cât mai multe situaţii, adică să rezolvăm cât mai multe, pentru a nu fi luaţi prin surprindere!

 

Temă:

1. Un număr este cu 10 mai mare decât altul. Aflaţi cele două numere, dacă suma lor este 40.

2. Un număr este de 3 ori mai mare decât altul. Aflaţi numerele, dacă suma lor este 40.


Important!
Nu posta probleme fără a menționa în ce clasă ești și neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au împotmolit la rezolvare.
Mesajele care conțin doar cerințele problemei vor fi (probabil) ignorate.


Ordinea efectuarii operatiilor

Până la clasa a IV-a elevii învaţă adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea numerelor naturale. Aceste operaţii le clasificăm astfel:

  • operaţii de ordinul întâi: adunarea şi scăderea;
  • operaţii de ordinul doi: înmulţirea si împarţirea.

Atunci când apar în exerciţii ele se efectuează astfel:

1. dacă în exerciţiu apar operaţii de acelaşi ordin (numai adunări şi/sau scăderi, sau numai înmulţiri şi/sau împărţiri), le efectuăm în ordinea în care sunt scrise, ca în exemplele următoare.

Exemplul 1. 9 + 4 – 5 = 13 – 5 = 8.
Am efectuat 9 + 4 = 13 apoi 13 – 5 = 8.

Exemplul 2.  3 x 6 : 9 = 18 : 9 = 2 .
Am efectuat 3 x 6 = 18 apoi 18 : 9 = 2.

2. daca în exerciţiu apar mai multe tipuri de operaţii, atunci efectuăm mai întâi pe cele de ordin doi, în ordinea în care apar, (înmulţirea şi împărţirea), apoi pe cele de ordinul întăi (adunarea şi scăderea), ca în exemplele următoare.

Exemplul 3.  7 – 7 : 7 = 7 – 1 = 6.
Am efectuat mai întâi 7 : 7 = 1, apoi 7 – 1 = 6 .

Exemplul 4.  8 + 8 x 8 = 8 + 64 = 72.
Am efectuat 8 x 8 = 64, apoi 8 + 64 = 72.

Exemplul 5.  7 x 6 – 3 x 10 + 18 : 9 = 42 – 30 + 2 = 12 + 2 = 14.
Am efectuat 7 x 6 = 42, 3 x 10 = 30, 18 : 9 = 2, apoi 42 – 30 = 12 şi în sfârşit 12 + 2 = 14.

Am ales special numere mici pentru uşurinţa redactării. Este util pentru copiii mai mici, mai ales până se obișnuiesc, să noteze deasupra semnului operației ordinea în care vor efectua.

În cazul în care nu respectăm ordinea efectuării operaţiilor, iată ce ar putea ieşi…

La exemplul 3, de pilda  7 – 7 : 7 = 0 : 7 = 0, am facut scăderea şi apoi împărţirea, ceea ce este greşit.
Sau la exemplul 4, 8 + 8 x 8 = 16 x 8 = 128, am făcut adunarea şi apoi înmulţirea, ceea ce este greşit!

Temă pentru acasă:

  1. 8 – 8 : 8 =
  2. 9 + 9 : 9 =
  3. 10 : 10 – 1 =
  4. 12 x 12 – 144 =
  5. 12 x 24 + 720 : 9 – 340 : 10 =

Spor la lucru şi atenţie maximă!


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.