Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă (II)

Se împlinesc mai bine de 7 ani de când am adăugat pe blog primele articole despre metodele de rezolvare a problemelor de matematică. Atunci, la început de ciclu primar al lui Andrei, eram încă în rolul de părinte disperat și de rubrică s-a ocupat în mare măsură tatăl meu. Se ocupă și în continuare, căci copiii caută pe net, adaugă probleme, iar articolele la care am colaborat cu el au un număr impresionant de comentarii de-a lungul timpului. Odată cu a doua mea specializare, am preluat în parte scrierea articolelor, iar zilele trecute l-am refăcut un pic pe primul, cel dedicat metodei figurative, pentru a-l putea recomanda câtorva părinți care se străduiesc să își susțină copilul acasă, dar (mi se pare normal, că doar nu au studii de specialitate) nu prea știu cum.

Cu această ocazie am constatat că articolul nu includea explicația unei probleme atunci când datele cunoscute includ diferența și raportul dintre necunoscutele problemei. Se dă, așadar, următoarea problemă:

Ana are într-un coș de răchită mere galbene și roșii. Numărul merelor galbene este de 4 ori mai mare decât al merelor roșii, iar diferența este 24. Câte mere galbene are Ana? Dar mere roșii? Rezolvați folosind metoda figurativă.

Primul pas ce trebuie făcut este analiza datelor problemei. Experiența îmi arată că copiii  nu citesc cu atenție cerințele și în loc de a rumega datele, îl iau pe „nu știu” în brațe, aleargă la prima persoană adultă care, cum altfel, de multe ori îi scutește de treabă, și se amăgește cu răspunsul copilului că „a înțeles”.

Ne sunt utile toate informațiile din problemă?

Nu. Nu ne interesează că merele sunt în coș, sau că e coșul din răchită. Este o informație inutilă în rezolvarea acesteia.

Ce informații ne oferă problema?

  1. Avem două necunoscute, mere galbene (g) și mere roșii (r).
  2. Știm că mere galbene sunt mai multe decât mere roșii.
  3. Cunoaștem diferența între numărul merelor galbene și roșii.

Care sunt cuvintele cheie ale problemei?

  1. „de 4 ori mai mare”, ceea ce înseamnă o operație de înmulțire: 4 x r = g
  2. „diferența este 24”, ceea ce înseamnă o operație de scădere: g – r = 24

Dacă copilul ajunge la aceste expresii matematice, este tentat să continue rezolvarea fără să apeleze la metoda figurativă. Însă avem o cerință în acest sens…

Vom începe cu realizarea desenului. Avem două necunoscute, mere galbene și roșii, așadar desenul nostru va cuprinde două segmente, unul mai mic și unul mai mare, căci nu avem același număr de mere de culori diferite.

Am stabilit că merele roșii sunt cele mai puține, așadar primul segment, mai mic, va reprezenta merele roșii. Al doilea segment, mai mare – merele galbene. De câte ori va fi mai mare al doilea segment? De 4 ori. Așadar desenăm al doilea segment având lungimea de 4 ori mai mare decât a primului. Recomand ca aceste rezolvări, cel puțin la început, să fie realizate pe foi cu pătrățele. Desenăm primul segment de 3 pătrățele, al doilea va avea: 3 x4 =  12 (pătrățele). Însă dacă vă doriți ca copilul să participe la concursuri de excelență, învățați-l să lucreze pe foaie velină. Desenezi cu rigla un segment de 2 cm. Următorul va avea 2 x 4 = 8 cm.

În construcție se poate proceda la desenarea celui de-al doilea segment multiplicându-l pe primul. Se desenează dedesubt, pornind dintr-un punct aliniat cu primul, un segment identic, apoi se continuă adăugarea a încă trei segmente de aceeași dimensiune, rezultând un segment de patru ori mai mare decât primul (alcătuit din patru părți de dimensiunea primului).

Din problemă cunoaștem „diferența”. Dacă comparăm cele două segmente desenate, care este „diferența” între ele? Ce are în plus al doilea față de primul? Sau – dacă din al doilea îl scădem / dăm la o parte pe primul, cu ce rămânem? Am constatat că aici au existat dificultăți mari în înțelegere, însă sunt convinsă că, lucrând la clasele mai mici cu material concret în învățarea operațiilor matematice, aceste dificultăți pot fi reduse.

Revenind la analiza desenului: din câte părți egale este format al doilea segment, care reprezintă merele galbene? Din 4 părți egale, căci este de patru ori mai mare decât primul segment. Câte din aceste părți egale reprezintă ce are „în plus” față de primul, sau „diferența” dintre acesta și primul? 3 părți egale.

Dacă trei părți egale reprezintă 24, cât este o parte?

24 :  3 =  8 (o parte egală, în problema noastră: numărul merelor roșii)

Câte mere galbene avem?

8 x 4 = 32 (mere galbene), dacă folosim informația potrivit căreia sunt „de patru ori mai multe”,

sau: 8 + 24 = 32 (mere galbene), dacă ne folosim de diferența dintre ele.

La răspuns notăm R: 32, 8., răspunzând, în ordinea în care au fost puse, la întrebările problemei.

Nu uităm de verificare. La această etapă trebuie să folosim datele obținute ca răspuns pentru a ajunge la datele problemei. Nu vom efectua așadar 32+8=40, pentru că problema nu ne spune câte mere sunt în total. Avem ca alternativă 32-8=24 (verificăm diferența), sau 32 : 8 = 4.

Tatăl meu încheia articolele cu o temă, însă sunt convinsă că ați ajuns la acest articol căutând ajutor pe google pentru o anumită problemă din multitudinea de culegeri pe care le avem. Dacă aveți în continuare nevoie de ajutor în rezolvare, vă rog să țineți cont și de mesajul de mai jos:

Important!
Nu adăuga probleme fără a menționa în ce clasă ești(este copilul) și neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au împotmolit la rezolvare.
Mesajele care conțin doar cerințele problemei vor fi (probabil) ignorate.

Pentru alte tipuri de probleme, accesează secțiunea de „Matematică”.

Metode de rezolvare a problemelor: metoda mersului invers

Aflarea numărului necunoscut prin metoda mersului invers, atunci când avem de-a face cu un exercițiu aritmetic, a fost deja subiectul unui articol anterior. Azi am primit, prin intermediul unui mesaj, o întrebare legată de rezolvarea unei probleme:

Un biciclist parcurge un traseu în patru etape. În prima etapă parcurge o doime și încă 4km, apoi în a doua etapă 1/2 și 4 km din rest, în a treia etapă jumătate din rest plus 4 km, iar în ultima etapa 4 km.

Care este lungimea traseului ?

Problema se rezolvă prin metoda grafică, dar raționamentul este tot cel al mersului invers.

Presupunem, așadar, că segmentul de mai jos reprezintă traseul integral. Știm că în prima etapă parcurge jumătate din el plus încă 4 km. Marcăm jumătate din traseu, adăugăm 4 km și am desenat cu albastru ceea ce rămâne înainte de a doua etapă.

(I) reprezintă ceea ce s-a parcurs în prima etapă.

În a II-a etapă parcurge jumătate din ce a rămas (albastru) plus încă 4 km. Am marcat cu roșu ceea ce rămâne înainte de a III-a etapă.

(II) reprezintă ceea ce s-a parcurs în a II-a etapă.

În a III-a etapă parcurge jumătate din ce a rămas (roșu) plus încă 4 km. Am marcat cu verde ceea ce rămâne înainte de a IV-a etapă.

(III) reprezintă ceea ce s-a parcurs în a III-a etapă.

În cea de-a IV-a etapă parcurge tot ceea ce a mai rămas din traseu, adică 4 km. Înseamnă că segmentul marcat cu verde reprezintă 4 km. Din acest moment începem raționamentul invers:

4 km (verde) împreună cu ceilalți 4 km parcurși în etapa a III-a reprezintă jumătate din cât mai avea de parcurs la începutul etapei a III-a. Așadar segmentul roșu (ceea ce rămâne înainte de a III-a etapă) reprezintă:

(4 + 4) x 2 = 16 (km)

Dar segmentul roșu, împreună cu cel de 4 km, reprezintă jumătate din ceea ce a rămas de parcurs înainte de a doua etapă. Așadar înainte de a II-a etapă (segmentul albastru) mai avea de parcurs:

(16 + 4) x 2 = 40 (km)

Segmentul albastru, împreună cu cel de 4 km, reprezintă jumătate din traseul inițial. Așadar la început avea de parcurs:

(40 + 4) x 2 = 88 (km)

Raționamentul este puțin mai greu, dar nu imposibil. Vă recomand să realizați mereu desenul aliniat ca mai sus, pe partea dreaptă, astfel încât să aveți mereu corespondența între ceea ce rămâne de parcurs și traseul inițial. Dacă le aliniați la stânga, nu veți mai putea parcurge „invers” rezolvarea, care va deveni și foarte dificilă. Dacă copilului îi este mai ușor, poate marca și jumătatea traseelor colorate. Iarăși, recomand utilizarea culorilor, în contrast cu negrul – traseul parcurs, pentru a vedea mai bine ceea ce „rămâne de parcurs”.

Succes!


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.


Metode de rezolvare a problemelor: probleme de întâlnire

Al doilea tip întâlnit al problemelor de mișcare este cel care presupune că mobilele se deplasează în sens contrar, pe aceeași direcție, și, indiferent care este viteza acestora, ele se vor întâlni. Am discutat deja aici despre problemele de urmărire, ar fi de preferat ca, dacă nu ați parcurs articolul, să îl parcurgeți acum, înainte de a trece mai departe.

Se dă următoarea problemă:

Distanța dintre localitățile A și B, aflate pe aceeași șosea, este de 63 km. Din A pleacă, la ora 12:00, către B, un biciclist, cu viteza de 12km/h. Din B pleacă spre A, la aceeași oră, un alt biciclist, cu viteza de 9km/h. După cât timp, și la ce distanță de localitatea A se întâlnesc cei doi bicicliști?

probleme_miscare4

Raționamentul este aproape identic cu cel al problemelor de urmărire. Chiar dacă în acest caz nu trebuie să mai verificăm condiția de existență a problemei (urmăritul să aibă o viteză mai mică decât urmăritorul), putem stabili, analizând vitezele de deplasare ale celor două mobile unde se va afla, orientativ, punctul de întâlnire? Mai aproape de A sau mai aproape de B? Dacă mobilele s-ar deplasa amândouă cu aceeași viteză, atunci se vor întâlni la jumătatea drumului. Dar în cazul nostru, viteza celui care pleacă din A este mai mare decât a celui care pleacă din B. Așadar, în același interval de timp – timpul se scurge la fel pentru amândoi – , biciclistul din A va parcurge o distanță mai mare decât cel din B, ceea ce înseamnă că punctul de întâlnire este mai aproape de B decât de A. Este util să reținem această ipoteză, pentru a verifica la final răspunsul.

Primul pas în rezolvare este de a afla ce se întâmplă într-o oră(în unitatea de timp): biciclistul A parcurge 12 km, și biciclistul B parcurge 9 km. Așadar, după o oră, distanța dintre ei nu mai este de 63 km, ci s-a micșorat. Cu cât s-a micșorat? Cu distanța parcursă de cei doi într-o oră:

12 + 9 = 21 (km) 

De cât timp este nevoie ca distanța dintre cei doi să fie zero (adică să se întâlnească)?

63 : 21 = 3 (ore)

Am aflat așadar după cât timp se întâlnesc, trebuie să mai aflăm și unde se află punctul de întâlnire, față de A. Avem și aici două variante de rezolvare:

I) Calculăm ce distanță parcurge biciclistul A în trei ore: 12 x 3 = 36 (km), deci cei doi s-au întâlnit la 36 km de localitatea A.

II) Calculăm ce distanță parcurge biciclistul B în trei ore: 9 x 3 = 27 (km), și scădem din distanța totală dintre cele două localități: 63 – 27 = 36 (km),  și obținem același răspuns.

Este momentul în care verificăm și ipoteza inițială, punctul de întâlnire este într-adevăr mai aproape de B decât de A.

Și problemele de întâlnire pot avea o mulțime de variante. Mobilele pot merge intervale de timp cu o viteză, apoi cu o alta, pot staționa un interval de timp, dar cu răbdare, atenție și exercițiu de imaginație, le putem rezolva, eventual împreună dacă aveți nevoie de ajutor.

Un sfat pentru părinții care doresc să-și ajute copiii la teme: dacă vă simțiți depășiți de probleme, și nu vă este la îndemână să le explicați pe înțelesul lor, mai bine dați doamnei un mesaj în care să explicați tema nefăcută, și să rugați să-i acorde un pic de timp copilului. Nu-i explicați folosind ecuații, operații cu numere întregi („mi-a zis tata că îl trecem dincolo de egal cu minus”!), nu este încă pregătit pentru mai mult la clasele primare.

Metode de rezolvare a problemelor: probleme de urmărire

Un tip de probleme care devin din ce în ce mai rare la ciclul primar sunt „problemele de viteză”, sau mai cunoscute ca probleme de mișcare. Înțeleg că sunt evitate, deoarece implică mărimi și noțiuni de fizică pe care copiii nu le au, dar pe care le pot totuși înțelege la această vârstă, pentru că s-au lovit constant de ele. Să luăm de exemplu noțiunea de „viteză”. O aude peste tot la tv, mai ales când accidentele țin în viață edițiile de știri. „Neadaptarea vitezei”, „viteză excesivă”, „depășirea limitei de viteză”. Primul lucru pe care îl reține este că viteza se măsoară în kilometri la oră.

Când am început să-i explic Irisucăi primele probleme de mișcare, i-am dat formula v=d:t. La un moment dat îmi spune că a memora așa, formule, e complicat, dar se gândește la kilometri la oră, că măsurăm distanța în kilometri, și ora este unitate pentru timp, și așa ține minte mai ușor. Așadar, are nevoie de asociere cu noțiuni pe care ea deja le-a înțeles/asimilat.

Problemele de mișcare trebuie însă pregătite cu un exercițiu de imaginație. Dacă nu-și va imagina problema, nu va putea să o rezolve, lectura textului fiind inutilă. Problemele de mișcare se împart în două mari categorii: prima – mobilele se deplasează în același sens (probleme de urmărire) și mobilele se deplasează în sens contrar (probleme de întâlnire). Se presupune din start că mobilele se deplasează în linie dreaptă, cu viteză constantă, și avem mișcare rectilinie și uniformă, altfel nu putem discuta de formula de mai sus, și nici rezolva problemele.

Acest articol este dedicat problemelor de urmărire.

Pentru a înțelege problemele, copilul trebuie să se gândească întâi, logic, dacă problema este posibilă, cu exemple.

Orașele A și B se află pe aceeași șosea, la o distanță de 18 km unul de celălalt. Din orașul A pleacă spre orașul B la ora 12 un pieton. Din orașul B pleacă, în același sens, și la aceeași oră, un biciclist. La ce distanță de orașul A se întâlnesc cei doi, dacă pietonul se deplasează cu 3km/h, iar biciclistul cu 12km/h?

probleme_de_miscare

Dacă sărim la calcule, deja am pierdut problema din mână. Primul exercițiu care trebuie făcut este cel logic. Dacă biciclistul pleacă din orașul B, se apropie sau se depărtează de pieton? Are vreo șansă un om care merge pe jos să îl ajungă pe biciclist, care se deplasează mai repede decât el? Așadar, problema nu poate fi rezolvată (și cum materialele pentru elevi sunt pline de greșeli, exercițiul logic este obligatoriu).

Orașele A și B se află pe aceeași șosea, la o distanță de 18 km unul de celălalt. Din orașul A pleacă spre orașul B la ora 12 un pieton. Din orașul B pleacă, în același sens, și la aceeași oră, un alt pieton. La ce distanță de orașul A se întâlnesc cei doi, dacă pietonul din A se deplasează cu 3km/h, iar pietonul din B cu 3km/h?

probleme_miscare2

Folosind raționamentul de mai sus, stabilim că cei doi nu se vor întâlni niciodată, pentru că se deplasează cu aceeași viteză. Așadar – nici aici nu putem da un răspuns la întrebarea din problemă.

Orașele A și B se află pe aceeași șosea, la o distanță de 3km unul de celălalt. Din orașul A pleacă spre orașul B la ora 12 un biciclist . Din orașul B pleacă, în același sens, și la aceeași oră, un pieton. La ce distanță de orașul A se întâlnesc cei doi, dacă pietonul se deplasează cu 3km/h, iar biciclistul cu 12km/h?

probleme_miscare3

De data aceasta, stabilim că oricât de încet merge pietonul, biciclistul merge mai repede decât el, așadar la un moment dat îl va ajunge. Rămâne să aflăm când.

Am dat exemplele cu pieton și biciclist pentru a fi evident că unul se deplasează mai repede. Problemele pot avea diverse mobile, atenția trebuie să se oprească asupra vitezei cu care se deplasează acestea. Un alt aspect asupra căruia copilul trebuie să fie atent este ca unitățile de măsură să fie identice. În general acest tip de provocare este pentru clasele gimnaziale, dar nu se știe niciodată când viteza se exprimă în metri/secundă și este nevoie de transformări.

Revenind la ultima problemă, întâi trebuie să aflăm ce se întâmplă într-o oră.

12 – 3 = 9 ,

așadar, într-o oră, distanța dintre biciclist și pieton se micșorează cu 9 km, sau biciclistul este cu 9 km mai aproape de pieton.

Dinstanța dintre ei este de 18 km, și se micșorează cu 9 km în fiecare oră.

18 : 9 = 2 

Două ore este timpul necesar pentru ca biciclistul să recupereze distanța dintre ei. În fiecare oră el recuperează 9km, așadar are nevoie de două ore pentru a recupera întreaga distanță.

Problema ne întreabă însă la ce distanță de A se vor întâlni cei doi. Putem afla răspunsul în două moduri:

I) Calculăm ce distanță parcurge pietonul în două ore –  3 x 2 = 6 (km) , și o adunăm cu distanța dintre cele două localități – 6 + 18 = 24 (km) . Așadar, se întâlnesc la 24 km distanță pe șosea de localitatea A.

II) Calculăm ce distanță parcurge în două ore biciclistul, care pleacă din A – 2 x 12 = 24 (km), și aflăm direct răspunsul final.

Este recomandabil să încurajați copilul să descopere ambele moduri de rezolvare, se poate verifica, și în același timp dobândește flexibilitate în gândire, toleranță față de opiniile celorlalți. Pot avea dreptate doi oameni, chiar dacă nu au mers pe același drum.

Problemele de urmărire pot avea și alte variante: cele două mobile pleacă din același punct, dar la ore diferite, și atunci trebuie să aflăm unde, la ce distanță de punctul de plecare se află primul mobil, atunci când pornește al doilea. Modelul de mai sus este forma la care se reduce orice problemă de urmărire pentru a fi rezolvată, iar algoritmul este următorul:

  • se stabilește dacă „urmăritorul” îl poate ajunge pe urmărit.
  • se află cu cât se micșorează distanța dintre cei doi în unitatea de timp
  • se calculează în câte unități de timp poate fi recuperată distanța dintre cei doi în momentul în care se pun în mișcare.

Dincolo de acestea, mare atenție ce anume cere problema: să se afle distanța față de punctul de plecare, ori față de un punct intermediar de pe traseu care trebuie calculat.

 

Dacă v-ați lovit de probleme de mișcare ce v-au dat bătăi de cap, adaugați-le mai jos, împreună cu raționamentul/încercările de rezolvare eșuate, și vom încerca să le rezolvăm împreună. Menționez că nu este un articol ce-și propune să rezolve temele elevilor. Matematica este 1% inspirație și 99% transpirație. Cu inspirația am dat o mână de ajutor mai sus.

 

Rezolvarea problemelor prin metoda figurativă (varianta 2)

Există deja aici pe blog un articol despre metoda figurativă, varianta cunoscută de toată lumea – cu segmente. Însă sunt și probleme la care, oricât ne-am strădui, nu vom reuși să reprezentăm astfel suficient de clar datele pentru a fi pe înțelesul copiilor (clasa a IVa). Iată o astfel de problemă, și un model de rezolvare:

O familie cu copii are de 4 ori mai multe caiete dictando  decât caiete de matematică.
După ce fiecare copil primește câte 2 caiete de matematică și 3 de dictando, rămân 2 caiete de matematică și 43 de dictando.

Câte caiete și câți copii sunt ?

Pentru a ușura scrierea, voi nota în continuare cu M caietele de matematică și cu D caietele dictando.

Prima tendință în rezolvare este de a reprezenta cu segmente datele cunoscute ale problemei:

|____________| – caiete matematică

|____________|____________|____________|____________| – caiete dictando

Însă această reprezentare nu ne ajută la această problemă, când caietele sunt redistribuite. Așa că le vom așeza ca mai jos, atribuind fiecărui caiet de matematică patru caiete dictando, căci sunt de 4 ori mai multe.

metoda figurativa

În acest moment am reprezentat toate caietele M și toate caietele D, care formează împreună grupuri, și avem de 4 ori mai multe D decât M.

Însă problema spune că aceste caiete sunt reorganizate, astfel încât fiecare copil primește 2 M și 3 D. Vom forma grupuri în care includem Acest număr de caiete, și observăm că, dacă luăm câte două grupuri inițiale, avem două caiete M, dar 8 caiete D.

Ca să rămânem cu 3, cum se specifică, trebuie să înlăturăm

8 – 3 = 5 (caiete D)

metoda figurativa

Am format grupuri similare numărului de copii din familie. Însă problema spune că rămân 2 caiete M și 43 D. Observăm că mai putem realiza un grup 2 M + 3 D, grup care nu va fi atribuit niciunui copil, dar acest lucru ne ajută să scăpăm de o necunoscută –  caietele de matematică.

metoda4figurativa

Unde „dispar” caietele D tăiate din grupurile inițiale? În dreapta, în cele 43 de caiete rămase.

Dacă mai formăm un grup de caiete (încadrat cu roșu), atunci vom avea:

43 – 3 = 40 (caiete D nedistribuite)

Raționamentul aici este următorul: avem 40 de caiete, care provin din X grupuri, și din fiecare grup câte 5. Din câte grupuri provin caietele?

40 : 5 = 8 (grupuri)

Dar aceste 8 grupuri nu reprezintă numărul copiilor, ci cu unul mai mult, căci noi am mai alcătuit un grup pe care nu l-am dat nimănui. Așadar, câți copii sunt în familie?

8 – 1 = 7 (copii)

Câte caiete M avem?

8 x 2 = 16 (caiete matematică)

Câte caiete D avem? (știm că sunt de 4x mai multe)

16 x 4 = 64 (caiete dictando)

Răspuns: 7 copii, 16 caiete matematică, 64 caiete dictando.

 

Succes!

Info: un copil normal, pentru a deprinde un algoritm de rezolvare, trebuie să îl exerseze de cel puțin 6-8 ori. Un copil cu dificultăți, până la 40 de ori.

Matematica: ultima cifra a unui numar natural

Mi-am propus să o dezvolt într-o mică expunere pentru cei interesaţi o temă pe care nu o găsim expusă sistematic în manualul şcolar, dar solicitată de multe ori aici pe blog.

Prin ultima cifră a unui număr înţelegem cifra unităţilor. Ultima cifră a numărului 4 este 4. Ultima cifră a numărului 23 este 3. Ultima cifră a numărului 157 este 7.

Se notează astfel:

  • U(4) = 4
  • U(23) = 3
  • U(157) = 7

Putem să extindem această noţiune pentru o sumă, pentru un produs în felul următor.

U(a+b)=U(a)+U(b) şi U(a*b)=U(a)*U(b).

Iată câte un exemplu.

U(12+17)=U(12)+U(17)=2+7=9
şi
U(12*17)=U(12)*U(17)=U(2*7)=U(14)=4.

Dacă vom studia ultima cifră a numerelor vom observa că unele au mereu ultima cifră aceeaşi, altele nu. Din prima categorie fac parte numerele care se termină cu 0, 1, 5 si 6. Să considerăm câte un exemplu din fiecare.

Fie 10 1=10; 10 2=100; 10 3=1000 şamd.
Observăm că 10 ridicat la orice putere, diferită de zero, are ultima cifră 0.

Fie 11 1=11; 11 2=121; 11 3=1331, şamd.
Observăm că 11 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.

Fie 5 1=5; 5 2 =25; 5 3=125, şamd.
Observăm că numărul 5 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 5.

Fie 6 1=6; 6 2 =36; 6 3=216, şamd.
Observăm că numărul 6 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 6.

Din cele prezentate reţinem următoarele:

a) Un număr care are ultima cifră 0 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 0.
b) Un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.
c) Un număr care are ultima cifră 5 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 5.
d) Un număr care are ultima cifră 6, ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 6.

Pentru un numar care are ultima cifră diferită de cele de mai sus, se procedează ca in exemplul urmator.

Să se afle ultima cifră a numarului 2 2015. (Se procedează la fel pentru 12 2015).

Calculăm câteva puteri. 2 1=2; 2 2=4; 2 3=8; 2 4=16; 2 5=32; 2 6=64; 2 7=128; 2 8=256; şamd.
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 2 4 sau 8 sau 12 sau 16…, are ultima cifră 6 ( un număr cu ultima cifră 6).
Din acest motiv, împărţim 2015 la 4 şi obţinem câtul 503 şi rest 3, ceea ce se scrie 2015=503×4+3.
Vom scrie U(2 2015)=U( 2 503×4+3)=U( 2 503×4)*U( 2 3)=U(( 2 4) 503)*8=U( 16 503)*8= U(6*8)=  =U(48)=8.

Ca temă, calculati, după acelaşi model, 3 2015, 4 2015, 7 2015, 8 2015 si 9 2015.

Cu aceste minime cunoştinte putem afla ultima cifră pentru diverse sume si produse.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor si sistemelor de ecuatii

Aş vrea să prezint în cele ce urmează cum trebuie să procedăm atunci când rezolvăm probleme cu ajutorul ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii. Orice problemă de matematică am avea de rezolvat, ea trebuie mai întâi înţeleasă, trebuie să găsim legaturile ce există între mărimile date în textul ei şi apoi să-l transpunem în limbaj matematic.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor sau sistemelor de ecuaţii se face parcurgând câteva etape obligatorii, fără a fi necesar să le precizăm de fiecare dată în scris, în redactarea rezolvării.

Paşii necesari:

  1. găsirea necunoscutei (necunoscutelor) din problemă;
  2. scrierea modelului matematic (a ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii);
  3. rezolvarea ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii;
  4. verificarea şi interpretarea rezultatului găsit. De ce şi interpretarea rezultatului? Pentru că ne putem da seama de eventualele greşeli de calcul pe care le-am făcut! 

Precizez că şi aici trebuie să cunoaştem foarte bine semnificaţia cuvintelor cheie:

  • cu atât mai mult – adunare;
  • cu atât mai puţin – scădere;
  • de atâtea ori mai mult – înmulţire;
  • de atătea ori mai puţin – împărţire;
  • numărul x mărit cu 2 se scrie x+2;
  • numărul x micşorat cu 2 se scrie x-2;
  • numărul x mărit de 2 ori se scrie 2x;
  • numărul x micşorat de doua ori se scrie x:2, etc.

Voi rezolva ca model câte o problemă din fiecare.

1. Un număr este cu 2 mai mare decât altul. Aflaţi numerele dacă suma lor este 24.

Fie x numărul mai mic; celălalt este x+2.

Obţinem ecuatia: x+x+2=24
2x+2=24
2x=24-2
2x=22
x=22:2
x=11(I)
11+2=13(II)

Verificare:11+13=24

2.Suma a două numere este 24, iar diferenţa lor este 4. Aflaţi numerele.

Fie x şi y numerele necunoscute.
Obţinem sistemul x+y=24 & x-y=4.
Adunăm membru cu membru şi obţinem 2x=28 & x+y=24
x=28:2 & x+y=24, de unde
x=14 & 14+y=24 sau
x=14 & y=24-14 sau
x=14 & y=10

Verificare 14+10 =24 & 14-10=4.

Culegerile de probleme existente pe piaţa  conţin multe astfel de probleme. Cu cât rezolvăm mai multe  probleme cu atât ne vom descurca mai bine ca rezolvitori!

 


Proprietatile egalitatilor in multimea numerelor naturale

Fie a şi b două numere naturale; scrierea a=b desemnează egalitatea numerelor a şi b. În această egalitate, a se numeşte membrul stâng al egalitaţii (membrul întâi al egalitaţii), iar b membrul drept al egalitaţii (membrul doi al egalitaţii). Exemple: 5=5, 7=7, 100=100.

1. Dacă avem o egalitate şi adunăm în ambii membri acelaşi număr natural, obţinem tot o egalitate. Din 3=3, adunând 7 în ambii membri, obţinem 3+7=3+7, sau 10=10, adică tot o egalitate.

2. Dacă avem o egalitate şi scădem din ambii membri acelaşi  număr natural (scăderea să se poată face), obţinem  tot o egalitate. Din 11=11, scăzând 6 din ambii membri, obţinem 11-6=11-6, sau 5=5, adică tot o egalitate.

3. Dacă avem o egalitate şi înmulţim ambii membri cu acelaşi număr natural, obţinem tot o egalitate. Din 8=8, înmulţind ambii membri cu 7, obţinem 8*7=8*7, sau 56=56, adică tot o egalitate.

4. Dacă avem o egalitate şi împărţim ambii membri cu un număr natural diferit de zero şi împărţirea se poate face, obţinem  tot o egalitate. Din 15=15, împarţind ambii membri cu 5, obţinem 15:5=15:5, sau 3=3, adică tot o egalitate.

5. Dacă avem două egalităţi şi le adunăm membru cu membru, obţinem tot o egalitate. Din 4=4 şi 7=7, adunând membru cu membru obţinem 4+7=4+7 sau 11=11, adică tot o egalitate.

6. Dacă avem două egalităţi şi le scădem membru cu membru şi scăderea se poate face, obţinem tot o egalitate. Din 13=13 si 5=5, scăzând membru cu membru obţinem 13-5=13-5 sau 8=8, adică tot o egalitate.

7. Dacă avem două egalităţi şi le înmulţim membru cu membru, obţinem tot o egalitate. Din 14 =14 si 3=3, înmulţind membru cu membru obţinem14*3=14*3 sau 42=42, adică tot o egalitate.

8. Dacă avem  două  egalitaţi şi le împărţim membru cu membru şi împărţirea se poate face, obţinem tot o egalitate. Din 18=18 si 6=6, împărţind membru cu membru, obţinem 18:6=18:6 sau 3=3, adică tot o egalitate.

Observaţie: Proprietăţile egalităţilor rămân valabile şi în celelalte mulţimi de numere: întregi, raţionale, iraţionale, reale. Unele restricţii nu mai sunt necesare, altele se menţin.

Ca exerciţii puteţi încerca cele de mai sus şi pe alte exemple.


Mate2000 (Editura Paralela 45) si concursul COMPER


 Update 7 mai 2011: Conform Regulamentului, la Etapa a II-a a Concursului Şcolar Naţional COMPER se pot înscrie şi elevi care nu au participat la prima etapă. De asemenea, organizatorul are rugămintea ca grilele de punctaj să fie printate de pe site-ul concursului, cu respectarea strictă a specificaţiilor. Data limită de înscriere pentru etapa a doua este 15 mai 2011, probele urmând a se desfăşura pe 18 mai, la Limba şi literatura română, şi 25 mai la Matematică. Elevii pot participa numai sub coordonarea unui cadru didactic.

Succes tuturor participanţilor!


 12 ianuarie 2011:
Mate2000. Editura Paralela 45 De azi într-o săptămână avem emoţii, căci se desfăşoară proba la matematică în cadrul concursurilor naţionale COMPER. Cum am ajuns noi să participăm? Simplu… de la începutul anului ne-am cumpărat, toată clasa, culegerea pentru matematică. Ca o paranteză, până să ajungem la şcoală, tot auzeam şcolarii vorbind de culegeri, şi mă cam îngrozea ideea. Când eram noi şcolari, culegerile erau ceva high-level, să ajungi să ai temă de-acolo era SF, doar la cercul de matematică se deschidea culegerea cu "Roboţel". Am ajuns la şcoală şi am constatat că acum nu mai e o sperietoare, e un fel de revistă cu jocuri adaptată programei. Ok, hai că e exagerat cu revistă, dar e amuzant să lucrezi pe ea. Nu mai simţi că dai piept cu uraganul, doar exersezi ceea ce ai învăţat, pentru o mai bună fixare a cunoştinţelor.

Cam asta facem noi de la începutul anului cu Mate2000. Ce mi-a plăcut a fost în primul rând ideea de a oferi copiilor, pe lângă culegere, şi o probă de concurs. Culegerea reprezită "biletul" de participare, căci la sfârşit este inserată fişa de concurs pentru fiecare elev. Şi, dacă punem la socoteală celelalte concursuri, la care plăteşti pentru participare cam aceeaşi sumă, dar nu primeşti nimic în plus, cred că alegerea nu e rea deloc. Există variante pentru toţi anii de studiu, primar şi gimnazial, pentru română şi matematică.

Aseară ne-am jucat un pic cu testele pentru proba de limba română, care se desfăşoară astăzi. Pe site îţi poţi face cont de elev, şi ai acces atât la testul de antrenament (poate nu era o idee era să fie mai multe…) cât şi la cele 5 variante pentru concurs, care se afişează cu o zi înainte. Personal nu îmi plac testele anunţate. Ok, anunţi modelul de subiect, dar subiectul efectiv… să nu mă întrebaţi ce părere am despre examenul de bac, când ştii dinainte ce poate fi scris pe bilete. Roboţei creăm, de roboţei avem parte…

Am avut şi ceva bătaie de cap cu testele, în primul rând pentru că noi nu am ajuns la litera "L". Cred că abia vineri îl vor învăţa. Apoi, nici structura unui text, cu ce este acela "titlu", nu am studiat, urmează. I-am explicat pe loc, şi a înţeles ce-i de făcut.

Am hotărât ca la proba de matematică să nu-i arăt subiectele înainte. Asta e, nu avem nimic de pierdut, şi nici de câştigat. Vreau să văd ce poate face cu un test la prima vedere. Vom avea apoi timp suficient să rezolvăm toate variantele propuse.

Îi ţinem pumnii doamnei învăţătoare, să aibă net, să meargă xeroxul, pentru că participarea este posibilă numai cu ajutorul dânsei. Ca elev independent, sau ca părinte, nu poţi participa. Ştiu că o diplomă de mentor nu va răsplăti efortul depus, aşa că sper ca satisfacţiile să vină din succesele copiilor. Multă baftă, clasa IB!

Legături utile: Culegerea Mate 2000, Concursurile COMPER , Regulamentul de participare.


Rezolvarea problemelor de matematica prin metoda reducerii la unitate

Prin această metodă se rezolvă multe probleme de matematică, în care datele depind unele de altele.
Pentru cei pasionaţi de matematică, aici se încadrează problemele în care apar mărimi direct proporţionale şi invers proportionale, care se rezolvă prin procedeul proporţiilor şi prin procedeul reducerii la unitate folosit în clasa a IV-a. Voi exemplifica prin rezolvarea câtorva probleme. Se numeşte metoda reducerii la unitate deoarece, întotdeauna, se află cât valoreaza unitatea.

Problema 1. O persoană cumpără 5 kg de mere şi plăteşte 15 lei. Dacă va cumpăra 7 kg de mere de aceeaşi calitate, cât va plăti?
Rezolvare. Dacă 5 kg de mere valoreaza 15 lei, atunci 1 kg va costa de 5 ori mai puţin,
adica 15 lei : 5 = 3 lei. 7 kg de mere vor costa de 7 ori mai mult, adică 3 lei x 7 = 21 lei.

Calculele se pot aseza astfel:
5 kg ………………………………..15 lei
1 kg…………………….15 lei : 5 = 3 lei
7 kg…………………….3 lei x 7 = 21 lei

Problema 2. Un bazin se umple prin 3 robinete în 15 ore. În cât timp vor umple acelaşi bazin 9 robinete care au acelasi debit?
Rezolvare. Dacă bazinul se umple folosind 3 robinete în 15 ore, un singur robinet o va face într-un timp de 3 ori mai mare, adică 15 ore x 3 = 45 ore. Cele 9 robinete vor umple bazinul într-un timp de 9 ori mai mic, adică 45 ore : 9 = 5 ore.

Calculele se pot aseza astfel:
3 robinete……………………………………………15 ore
1 robinet…………………………..15 ore x 3= 45 ore
 9 robinete………………………….45 ore : 9=   5 ore

Pentru cei ce cunosc operaţii cu fracţii, voi rezolva o problema la nivelul clasei a VI-a, tot prin metoda reducerii la unitate.

Problema 3. Pentru a ara 810 ha de teren arabil, 6 tractoare au lucrat 45 de zile. Dacă ar trebui să arăm 2100 ha şi dispunem de 10 tractoare, cât timp le va fi necesar? (Presupunem că tractoarele îndeplinesc aceeaşi normă).

Rezolvare. În acest caz, vom reduce, pe rând, la unitate, suprafaţa şi numărul de tractoare, apoi se revine, invers, la datele cerute. Dacă 810 ha au fost arate de 6 tractoare în 45 de zile, 1 ha va fi arat de 6 tractoare în 45 zile : 810.
Tot 1 ha va fi arat de 1 tractor într-un timp de 6 ori mai lung adică (45 zile : 810) x 6. 
Tot 1 ha va fi arat de 10 tractoare  mai repede, adică [(45 zile :810)x 6] : 10.
Pentru a ara 2100 ha va dura mai mult, adică {[( 45 zile : 810)x 6] :10}x 2100
şi după efectuarea calculelor obţinem 70 de zile. 

Calculele se pot aseza astfel:
810 ha…………….6 tractoare………………….45 zile
 1 ha………………6 tractoare…………………..45 zile:810
 1 ha………………1 tractor……………………..(45 zile:810)x 6
1 ha………………10 tractoare………………….[(45 zile:810)x 6]: 10
2100 ha………..10 tractoare……………..{[(45 zile:810)x 6]: 10}x 2100= 70 zile   

Vă propun spre rezolvare următoarele probleme:
1. O gospodină a cumpărat 13 kg de cartofi şi a plătit 26 de lei. Cât a plătit alta gospodină, dacă a cumparat 7 kg de cartofi de aceeaşi calitate?
2. O echipă de 50 de muncitori termină o lucrare în 30 de zile. În cât timp va termina aceeaşi lucrare o echipă de 15 muncitori? (Toţi muncitorii îndeplinesc aceeaşi normă).
3. Un fermier are 5 vaci, care timp de 30 de zile consuma 1800 kg de furaj. Cât furaj consumă 12 vaci în 18 zile, daca raţia (porţia) unei vaci pe zi rămane aceeaşi?

Postează într-un comentariu la acest articol rezolvarea, şi vei primi răspuns dacă este corectă.

 


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.