Matematica: ultima cifra a unui numar natural

Mi-am propus să o dezvolt într-o mică expunere pentru cei interesaţi o temă pe care nu o găsim expusă sistematic în manualul şcolar, dar solicitată de multe ori aici pe blog.

Prin ultima cifră a unui număr înţelegem cifra unităţilor. Ultima cifră a numărului 4 este 4. Ultima cifră a numărului 23 este 3. Ultima cifră a numărului 157 este 7.

Se notează astfel:

  • U(4) = 4
  • U(23) = 3
  • U(157) = 7

Putem să extindem această noţiune pentru o sumă, pentru un produs în felul următor.

U(a+b)=U(a)+U(b) şi U(a*b)=U(a)*U(b).

Iată câte un exemplu.

U(12+17)=U(12)+U(17)=2+7=9
şi
U(12*17)=U(12)*U(17)=U(2*7)=U(14)=4.

Dacă vom studia ultima cifră a numerelor vom observa că unele au mereu ultima cifră aceeaşi, altele nu. Din prima categorie fac parte numerele care se termină cu 0, 1, 5 si 6. Să considerăm câte un exemplu din fiecare.

Fie 10 1=10; 10 2=100; 10 3=1000 şamd.
Observăm că 10 ridicat la orice putere, diferită de zero, are ultima cifră 0.

Fie 11 1=11; 11 2=121; 11 3=1331, şamd.
Observăm că 11 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.

Fie 5 1=5; 5 2 =25; 5 3=125, şamd.
Observăm că numărul 5 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 5.

Fie 6 1=6; 6 2 =36; 6 3=216, şamd.
Observăm că numărul 6 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 6.

Din cele prezentate reţinem următoarele:

a) Un număr care are ultima cifră 0 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 0.
b) Un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.
c) Un număr care are ultima cifră 5 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 5.
d) Un număr care are ultima cifră 6, ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 6.

Pentru un numar care are ultima cifră diferită de cele de mai sus, se procedează ca in exemplul urmator.

Să se afle ultima cifră a numarului 2 2015. (Se procedează la fel pentru 12 2015).

Calculăm câteva puteri. 2 1=2; 2 2=4; 2 3=8; 2 4=16; 2 5=32; 2 6=64; 2 7=128; 2 8=256; şamd.
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 2 4 sau 8 sau 12 sau 16…, are ultima cifră 6 ( un număr cu ultima cifră 6).
Din acest motiv, împărţim 2015 la 4 şi obţinem câtul 503 şi rest 3, ceea ce se scrie 2015=503×4+3.
Vom scrie U(2 2015)=U( 2 503×4+3)=U( 2 503×4)*U( 2 3)=U(( 2 4) 503)*8=U( 16 503)*8= U(6*8)=  =U(48)=8.

Ca temă, calculati, după acelaşi model, 3 2015, 4 2015, 7 2015, 8 2015 si 9 2015.

Cu aceste minime cunoştinte putem afla ultima cifră pentru diverse sume si produse.

Dani D.

Profesor de matematică la gimnaziu de peste 40 de ani.
Posted in Matematică, Ora de Științe.

41 Comments

  1. Orice explicatii legate de notiunile de matematica ne sunt foarte utile!!! Asteptam si alte articole!!!Multumim!!!

    Divizibilitate… poate!

    • Draga Larisa,
      Multumim pentru aprecieri! Vom incerca si alte teme care nu se gasesc in manual. Divizibilitatea este clar redata in manual.Cu bine.

  2. Determina multimile A si B stiind ca sunt indeplinite simultan conditiile:

    A U B ={3, 4, 5, 6, 7 }
    A [intersectat] B = {3, 4}
    elementele sunt cifre
    suma elementelor multimii A este egala cu suma elementelor multimii B.

    Multumesc!!

    • Draga Gabi,
      Daca in intersectie sunt elementele 3 si 4 ele sunt si in A si in B. Deci A={3,4,…} si B={3,4,…}. Ar trebui ca elementele 5,6,7 sau in A sau in B, in asa fel incat suma sa fie aceeasi, ceea ce e imposibil! Probabil nu ai scris corect elementele din AUB! Revezi enuntul!Cu bine.

  3. Am o problema de cl a V-a, lectia Procente a fiului meu ( aseara nu a reusit sa o posteze, asa ca incerc eu acum)
    Intr-o clasa sunt 28 elevi, iar 7 dintre ei sunt baieti.
    1. Cat la suta reprezinta baietii?
    2. Cat la suta reprezinta fetele?
    formula care cred ca se aplica e p%=p/100.
    nu stiu cum sa incep, dar daca as aplica regula de trei simpla
    28…..100
    7……x
    x=( 7*100) /28= 25-baietii reprezinta 25% din clasa
    Problema e ca ei nu au invatat aceasta regula. Ma puteti ajuta cu o alta rezolvare?
    va multumesc.

    • Draga Inocentiu,
      Daca este clasa a Va, nu stie regula de trei simpla!
      p%=raportul dintre numarul baietilor si numarul elevilor din clasa.
      p%=7/28=1/4=25/100=25%; am simplificat cu 7, apoi am amplificat cu 25.
      28-7=21 fete
      q%=21/28=3/4=75/100=75%; am simplificat cu 7, apoi am amplificat cu 25. Cu bine.

  4. Va rog mult de tot,puteti sa ma ajutati si pe mine sa rezolv urmatoarea problema?

    „Pe un teren in forma de patrat un pomicultor vrea sa planteze 10 pomi asfel incat pe fiecare latura a patratului sa fie acelasi numar de pomi.”Cum este posibil?

    • Draga Alina,
      Banuiesc ca e o gluma matematica! Pe fiecare latura a patratului scriu cate o litera a cuvantului zece!
      z
      e e
      c

  5. Multumesc!
    Nu este o gluma! Problema este serioasa si este din cartea de matematica de clasa a II-a. Se cere si un desen care sa arate rezolvzarea.

    • Draga Alina,
      Nu o fi gluma, dar nu vad rezolvarea decat scriind pe fiecare latura, o litera a cuvantului zece! Cu bine.

    • Buna ziua ! Cu referure la ultimul caz prezentat, ce se va proceda in cazul in care la impartire restul este 0? Exemplu (3 la puterea 100). Se repeta din 4 in 4, deci impartim pe 100 la 4 si obtinem 25 rest 0. Ce facem in acest caz? Multumesc frumos !

    • 3^1=3
      3^2=9
      3^3=27
      3^4=81
      3^5=243
      3^6=729
      Aplicând raționamentul din articol, 3^100 = (3^4)^25
      Dar 3^4 este 81 si un numar terminat in 1, ridicat la orice putere, are ultima cifra 1.

      Sper să îți fie de ajutor!

  6. SE IMPARTE PATRATUL CU 2 LINII VERTICALE SI 2 LINII ORIZONTALE IN 9 PATRATELE.PE DIAGONALA PATRATULUI MARE PUNEM IN CELE 2 VARFURI CATE UN POM, IAR PE LATURILE CARE FORMEAZA VARFUL CATE 2 POMI, LA DISTANTA DE O PATRATICA.ASTFEL VOM AVEA CATE 3 POMI PE FIECARE LATURA SI IN TOTAL 10.

  7. Dar daca sunt inrtr-o operație și trebuie sa aflam numărul? Ex : 2^2002-6^2001×5^2000×11^2003 ???? Iar enunțul spune : Aflați ultima cifra a nr

    • Draga Andreea,
      Numarul nu l poti afla! Ultima cifra, insa, da! Afli ultima cifra a fiecarui numar, prudusul are ultima cifra, produsul ultimelor cifre, iar ultima cifra a diferentei, este diferenta ultimelor cifre.Cu bine.

    • Dacă cineva ți-a cerut să calculezi asta, ar trebui să-ți arate cum.
      Dacă face parte dintr-un exercițiu, vezi dacă nu cumva folosind operații cu puteri, ajungi să ai de calculat de fapt o putere mai mică…

    • Draga Cosmina,
      Banuiesc ca tu vrei sa afli ultima cifra a numarului 17 la puterea 307, ceea ce este mai usor decat sa calculezi! Se va comporta la fel ca 7 la puterea 307. Acest lucru l am prezentat in articol mai sus! Cu bine.

  8. Asta-i „scoala” ?
    Asta-i batjocura care ne imbolnaveste copiii si pe noi, parintii, de nervi !
    Astia care au conceput aceste asa zise „manuale” si „culegeri” de clasa a 5-a erau beti , nebuni sau bestii ordinare, ca „profesori” imi este greu sa-i numesc? Respecta mizeriile astea criteriile psihopedagogice caracteristice varstei copiilor sau sunt facute anume sa-i batjocoreasca si sa-i imbolnaveasca ? Suntem vai de noi daca nu ne pasa de SANATATEA si SIGURANTA copiilor nostri ! (De aia si-au plagiat atatia „diplomele” ! De „performant” ce ne este „invatamantul” ! Marele geniu Nicolae Iorga spunea : „CUM ARATA SCOALA ASA ARATA TARA !” In rest no comment !

  9. Draga Ani , daca esti un copil, imi cer scuze fata de tine , dar acest mesaj nu-ti era adresat ! Daca esti elev, iti urez mult succes si sper ca intelegi rezolvarile postate mai sus, desi eu nu inteleg la ce vor folosi , practic, in viata …. Consecintele ,insa , a ceea ce se intampla ii privesc pe altii, nu pe tine… . Mesajul este adresat parintilor disperati ca si mine si eventualilor profesori de vocatie , NU incuiatilor , care nu reusesc sa CONSTIENTIZEZE consecintele legate de acest SISTEM MORBID si PERICULOS !!!

    • Nu sunt nici pe departe copil, sunt administratorul site-ului. Greșeala mea că nu mi-am completat profilul.
      Însă văd că realizezi că aici intră și copii, iar mesajul tău este complet rupt de context. Am înțeles problema ta, și nevoia de a „spune” oful cuiva. Și înțeleg mai bine decât crezi, căci îmi asist copiii la teme de gimnaziu, care nu de puține ori mă depășesc. Acesta e rolul articolelor de aici, să dea o mână de ajutor atunci când disperarea îți ajunge la os și banii nu ajung de meditații, dar ai face orice ca să-ți ajuți copilul.
      Cu această ocazie îți confirm și că sunt profesor, probabil pus de tine în categoria „încuiaților” care trăiesc în sistem. Însă cei care ar trebui cu adevărat să intre în categoria asta, îți garantez că nu intră la mine pe site… și mă întorc de unde am pornit. Articolul acesta este o lecție de matematică, nu loc unde să accept o polemică. Îți recomand categoria „De-ale școlii”, ai acolo suficiente subiecte care se pretează la așa ceva.

    • Draga Mihaela,
      Atunci cand nu avem rest se scrie astfel. 2 la puterea 2016= 2 la puterea 4 totul la puterea 504. 2 la puterea 4 =16. Vom avea 16 la puterea 504 si ultima cifra este 6. Cu bine.

    • nu ar fi mai simplu de inteles daca am spune ca ultima cifra a lui n la puterea x este ultima cifra a lui n ridicat la puterea restului?

    • Draga Mario,
      Pe acest site vei gasi tratata ultima cifra a unui numar, daca vei cauta! U(a+b+c)= U(a)+U(b)+U(c). Calculezi cateva puteri ale lui 2; vei observa ca se repeta din 4 in 4.La fel la 7, 3. La 9 din 2 in 2.U(2^4a)=U((2^4)^a)=U(16^a)=6. 7^(4b+1)=7^4b*7^1=((7^4)^b*7=(2401)^b*7=(..1)*7=7. U(7^4b+1)=7. Analog se calculeaza celelalte. U(6+7+9+9)=U(31)=1.Sper sa te descurci! Cu bine.

  10. nu ar fi mai simplu de inteles daca am spune ca ultima cifra a lui n la puterea x este ultima cifra a lui n ridicat la puterea restului impartirii lui x la 4?

    • Se poate cerceta! Esti liber sa o faci! Daca vor corespunde…OK!!!Restul insa,imi arata a cata cifra, din grupul de 4 este! Daca restul este 1, ultima cifra a numarului este ultima cifra a numarului de pe locul 1;daca restul este 2, ultima cifra a numarului este cea a numarului de pe locul 2;samd.

  11. Care este ultima cifrava numarului 1•2•…•19? Este semnificativă? Care este prima sa cifră semnificativă și a câta din dreapta este?

    • Draga Laura,
      Ultima cifra a unui produs se afla, inmultind ultimele cifre ale factorilor!Ex.1. U(12*5)=U(12)*U(5)=U(2*5)=U(10)=0 sau U(60)=0
      Ex.2. U(12*13)=U(12)*U(13)=U(2*3)=6 sau U(12*13)=U(156)=6.Ceea ce ti am aratat se extinde si cand avem mai multi factori.In cazul produsului 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19 trebuie observat ca 2*5=10, mai avem si pe 10,inca un 2*5=10(de la 14*15) si produsul va avea ultimele trei cifre zero.Deci, ultima cifra nu este semnificativa! Ea este zero!Prima cifra semnificativa din dreapta, este a patra(numarul are trei zerouri la sfarsit). Pentru a gasi aceasta cifra, vom calcula U(1*3*4*6*7*8*9*11*12*13*7*3*16*17*18*19) conform exemlelor 1 si 2 si obtinem U(produs)=2. Obs. Factorii 7 si 3 sunt de la 14=2*7 si 15=3*5.

    • Ultima este 7. Undeva în sirul acela ai un număr care se termina cu zero.
      Din acel moment, ultima cifra a produsului devine 0. La final, adunat cu 7.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Am fost informat că datele de identificare furnizate în adăugarea acestui comentariu sunt stocate în baza de date a blogului pentru a primi informațiile/comentariile nou apărute. În cazul în care nu mai doresc acest lucru, mă pot dezabona folosind linkurile din mailurile primite. De asemenea, pot cere ștergerea de pe site a informațiilor ce pot duce la identificarea mea, printr-un mesaj scris.


Pentru păstrarea aninomatului, folosiți un pseudonim și o adresă de mail inventată, precum a@a.a.



CabinaFotoSunt.eu - Distractie la evenimente