Preoții și învățământul românesc

Articolul de față nu va fi, așa cum ar vrea titlul să spună, o dezbatere despre implicarea preoților în învățământul actual românesc, deși tema ar fi una de „cercetare”, și mă tem că rezultatele nu s-ar depărta de cele pe care Creangă le-a descris, evoluând, normal, de la dimensiunea fizică la cea psihică.

Am preluat, cu acordul autorului – prof. dr. Nichita Adăniloaie, un studiu al dânsului privitor la Contribuția preoților la dezvoltarea învățământului primar românesc în epoca modernă, articol apărut în revista istorică „Zargidava”(XIV, 2015, Bacău). Studiul este susținut de documente de arhivă, și reprezintă o privire asupra a ceea ce a însemnat debutul școlii românești de „masă”, și dificultățile întâmpinate la deschiderea primelor școli. Personal articolul mi-a plăcut foarte mult, pentru că subliniază contribuția și implicarea bisericii române, dar și limitele acestei implicări, și nevoile pe care învățământul le-a avut în fiecare epocă.

Sper să aveți răbdarea necesară pentru a parcurge textul – un articol științific, dar accesibil, însă nu de dimensiunile clasice ale unui articol online. Încep, astfel, cu pași mici, rubrica de istorie pe care am promis s-o inițiez aici pe blog. Sunt sigură că vă vor trezi interesul și denumirea pe care forurile superioare o aveau în secolul XIX, materiile studiate de copiii acelei vremi, remunerația cadrelor didactice, dar și eforturile ce reveneau părinților.

Titlu de abecedar din 1878, realizat manual de învățător. Imagine document. Preluarea interzisă.

Titlu de abecedar din 1878, realizat manual de învățător. Imagine document. Preluarea imaginii ori a textului este interzisă.

Contribuția preoților la dezvoltarea învățământului primar românesc în epoca modernă

Precum se știe, biserica a reprezentat în evul mediu un scut al neamului nostru, al păstrării și propășirii românismului, iar în epoca modernă, alături de școală, ea a contribuit eficient la conștientizarea poporului,la întărirea simțului de solidaritate națională și de rezistență în fața opresiunii străine. Dovezi peremtorii avem în acest sens până la 1918, în provinciile românești subjugate de  Austro-Ungaria și Rusia. De altfel, biserica și școala au constituit pârghii de nădejde în lupta națiunii noastre pentru înfăptuirea, organizarea și consolidarea României moderne, implicit pentru făurirea Marii Uniri de la 1918. 

S-a evidențiat că multe biserici și mănăstiri au fost adevărate focare de cultură românească de-a lungul secolelor. Consider că ar trebui subliniat și rolul preoțimii în dezvoltarea învățământului românesc, mai ales a celui primar. Este cunoscut faptul că, până în pragul epocii moderne, nu existau clădiri speciale (localuri) pentru școlile sătești. Puținele școli ce s-au înfiripat, în această ramură a învățământului, au fost organizate din inițiativa preoților, pe lângă unele biserici. Cursurile se țineau în pridvoarele bisericilor ori în chiliile alăturate. 

Documentele atestă în anul 1802 o școală la mănăstirea Motru; în 1803 o școală pe lângă biserica din Furduiești, jud. Vlașca, și, tot atunci, o școală pe lângă biserica Poiana, jud. Ialomița.[1] Călugării de la Tismana – rezultă din documente – au înființat o școală la mănăstirea lor și o alta la Crețulești.>[2] Din inițiativa unor preoți s-a înființat o școală la Peretu, jud. Teleorman, și alta la biserica din Chițorani, jud. Prahova.>[3] Alte școli au mai fost înființate – în primele decenii ale sec. al XIX-lea – la Dărăști, jud. Vlașca, Șuta și Odorești, jud. Dâmbovița, Banovița, jud. Mehedinți, Benești, jud. Vâlcea, Conțești, jud. Muscel, Greci, Agiești și Tărtășești, jud. Ilfov, Valea Scheilor, Fulga, Mărgineni și Slănic, jud. Prahova, Nișcov și Tohani, jud. Buzău.>[4] Este adevărat că aceste școli au luat ființă din inițiativa și cu contribuția masivă a proprietarilor de moșii, dar învățătorii lor s-au recrutat, în majoritate, tot din rândurile preoților și ale cântăreților de la bisericile respective. 

Datorită ritmului tot mai alert de dezvoltare, societatea românească a simțit nevoia de a crea școli primare care să dea, într-un timp relativ scurt, un minim de cunoștințe și anumite norme de conviețuire socială, necesare fiecărui tânăr. Dacă în trecut se considera că oamenii nu pot trăi fără biserică, treptat se afirmă, cu tot mai multă convingere, că ei nu pot trăi nici  fără școală. Spre deosebire de alte perioade istorice, în epoca modernă învățământul, devenind o sarcină publică, a fost etatizat și prin stipulațiile Regulamentului organic. Interesul statului era ca învățământul să se dezvolte și să răspundă cât mai bine cerințelor vieții sociale. În orașele reședință de județ s-au putut înființa, îndată după intrarea în vigoare a Regulamentului organic, școli primare, numite și „școli naționale” sau „începătoare”. 

La sate însă condițiile sunt vitrege – lipsa de localuri, de învățători și de săteni înstăriți – înființarea școlilor publice a întârziat un deceniu în Muntenia, iar în Moldova aproape trei decenii. Pentru a nu trena prea mult lucrurile, legiuitorii din București s-au gândit să apeleze tot la preoți și cântăreții de la bisericile sătești – singurii care știau ceva carte în mediul rural – pentru a suplini lipsa cadrelor didactice. Din aceste considerente, în Legea pentru seminarii, protopopi și preoți, adoptate de Obșteasca Adunare la 11 aprilie 1834, s-a prevăzut, în articolul 8, ca „în fieșcare sat să se ție pe lângă preot și un  cântăreț, care va fi dator să învețe copiii satului carte și cântări”, primind, drept plată, două kile de bucate (circa 800 ocale) din magaziile de rezervă și câte 2 lei pe an de la fiecare enoriaș.>[5]

Probabil, dându-și seama de slaba pregătire a cântăreților, Eforia școalelor elaborând, în noiembrie 1834, proiectul Regulamentului pentru învățăturile în seminare introduce în textul acestuia un articol final prin care precizează: „Din preoții fieșcăruia sat care vor ieși din seminare cel mai tânăr va fi dator a ținea în satul său școală pentru citire, scriere și patru lucrări ale armeticei. Într-această școală toți locuitorii își vor trimite copii, având a plăti fieșcare părinte de copil 6 lei pe an”.>[6] 

Din păcate, Adunarea obștească a refuzat să aprobe acest articol din proiectul Eforiei. A rămas numai prevederea art. 8 din legea din aprilie 1834, pentru organizarea seminariilor, și aceasta va constitui temeiul legal pentru instituirea, în 1838, a învățământului public la sate.>[7] În ianuarie 1838, Departamentul din lăuntru al Țării Românești, prin adresa către Eforia școalelor  și Ocârmuirea județelor, arătând că art. 8 din legea pentru seminarii, protopopi și preoți n-a fost „încă pusă în aplicare”, le cerea să ia măsuri pentru înființarea școalelor „prin toate satele” unde copiii locuitorilor să poată învăța carte. Ocârmuirea urma să se înțeleagă cu proprietarii din județ pentru găsirea unor case potrivite sau construirea unor localuri de școală, iar Eforia să se ocupe de recrutarea și pregătirea dascălilor. Se menționa că „învățătura copiilor de prin sate se va urma numai pe vreme de iarnă, adică de la 1 noiembrie până pe la sfârșitul lui martie, ca în lunile celelalte să se îndeletnicească la lucrarea pământului aducând ajutor părinților lor.”>[8]

Pentru recrutarea și prepararea candidaților de învățători rurali, Eforia a apelat la profesorii școlilor naționale de la reședința județelor, cerându-le să găsească, prin sate, nu numai cântăreți bisericești, ci și „feciori de popă, tineri săteni, sau alții”, care să accepte, în condițiile date, să urmeze cursuri începătoare de pregătire, în timpul verii, în capitala județelor, iar în toamnă să poată deschide școli în satele lor. Din documente rezultă că un număr mare de candidați de învățători, selecționați din sate pentru a se prepara la școlile primare de la reședința județelor erau fii de preoți. Astfel, în județul Teleorman, printre candidați, 26 erau fii de preoți și 3 fii de diaconi, în Argeș 46 erau fii de preoți și 6 fii de diaconi, în Mehedinți 37 erau fii de preoți și 2 fii de diaconi, în Romanați 31 erau fii de preoți și 7 de diaconi.>[9] 

Programul întocmit de Eforie pentru școlile sătești cuprindea: cetirea după table (e vorba de tablele lancasteriene), scrierea, catehismul legii creștinești, aritmetica elementară, lucrarea pământului și economia casei. La acestea s-a adăugat, în anul următor, cântările bisericești, pentru care candidații de învățători necunoscători trebuiau să plătească fie un preot, fie un cântăreț să-i prepare.>[10] 

Întrucât în multe sate nu s-au găsit candidați pentru a se prepara să devină învățători, rolul lor a fost în bună parte suplinit tot de preoți, deși nici ei nu se prea împăcau cu metoda lancasteriană. Școlile publice sătești, înființate în toamna anului 1838, în pofida tuturor greutăților, prin strădania lui Petrache Poenaru și a altor oameni de cultură ai vremii, s-au răspândit în toate județele Țării Românești, numărul lor ajungând în 1848 la 2236.>[11] Orânduirea reacționară, instaurată după înăbușirea revoluției pașoptiste, a ordonat închiderea acestor școli, considerându-le periculoase. Abia în toamna anului 1857 se vor redeschide 471 de școli sătești în Muntenia, iar până la Unirea din 1859, numărul lor va spori la 1011. Și de data aceasta lipsa unor dascăli calificați a făcut ca numeroși preoți să îndeplinească și rolul de învățători ai copiilor din sate. În Moldova, deși n-au lipsit preocupările, guvernul n-a înființat nici înainte, nici după revoluția pașoptistă școli rurale publice. În 1851, din inițiativa lui M. Kogălniceanu, s-a întocmit un Așezământ pentru reorganizarea învățăturilor publice care nu s-a pus în aplicare, din lipsă de fonduri. În decembrie 1855, la insistențele lui Gh. Asachi, directorul Departamentului instrucțiunii, s-a aprobat înființarea, la Iași, a Școlii normale sau „prepandarale” de la Trei Ierarhi, pentru pregătirea învățătorilor sătești. La înscriere, în școala normală, erau preferați tineri absolvenți ai cursului inferior de seminar ori de gimnaziu. În virtutea acestei prevederi, școala „prepandarală” de la Trei Ierarhi va avea ca elevi și pe Ion Creangă și pe vărul acestuia, Zaharia Gâtlan (Simionescu); ambii absolviseră mai înainte seminarul de la Socola și ambii vor deveni dascăli excelenți.

Prima promoție ieșită de la Trei Ierarhi a putut deschide, în toamna 1858, cele dintâi școli sătești publice din Moldova, finanțate de stat, în localitățile mai populate.>[12] Câțiva normaliști din promoțiile următoare au fost numiți în județele din sudul Basarabiei: Cahul, Ismail și Bolgrad, revenite la Moldova prin hotărârile tratatului de la Paris din 1856. Aici, în orașul Ismail s-a înființat la 1857 și o școală catihetică, transformată apoi în seminar, care a dat numeroși preoți și învățători pentru satele din sudul Basarabiei.>[13]

În 1861, prefectul de Cahul, I. Ciucă, a propus Ministerului ca învățători la școlile rurale din județ să fie numiți preoții satelor respective, care sunt „bărbați eminenți în desăvârșirea învățăturii și în moralitatea conduitei.” Prin această măsură – aprecia prefectul – s-ar diminua cheltuielile Ministerului, nemaiavând de întreținut un număr mare de școli sătești.>[14]În anii următori, pe măsură ce s-au înființat școli sătești în această zonă a crescut și numărul preoților și seminariștilor care au îndeplinit funcția de învățători. La 1877 peste 30% din învățătorii basarabeni erau recrutați din rândurile seminariștilor ori a preoților în funcție. După 1878, odată cu reanexarea sudului Basarabiei de către Rusia, școlile românești au fost desființate, iar limba română înlăturată chiar și din biserică. 

Legea instrucțiunii din 1864 stabilea că „tinerii care au terminat cursurile seminarului de gradul I, sau 4 clase din seminarul de gradul II, au dreptul de a fi numiți fără vreun alt examen preoți”, ori „învățători la școlile  sătești”. Totodată, această lege prevedea că „învățătura religioasă se va da copiilor, pe cât se va putea, de către preotul comunei”.>[15]

Pe baza legii instrucțiunii, ministrul N. Crețulescu, într-o circulară către revizorii școlari din Moldova, le cerea acestora ca la numirea învățătorilor, din lipsă de absolvenți ai școlii normale din Iași, să „prefere pe preotul, diaconul ori  dascălul bisericii comunei, dacă vor fi făcut studiile în seminar sau cel puțin într-o școală catihetică cu note bune.”>[16] Conformându-se circularei ministeriale, revizorii școlari au desfășurat o activitate intensă în toamna anului 1864 și în anul următor, pentru a înființa cât mai multe școli sătești și a numi în fruntea lor persoane corespunzătoare. De pildă, revizorul județului Suceava și Neamț raporta Ministerului, la 29 octombrie 1864, că parcurgând județele din circumscripția încredințată, a aflat în multe locuri „case gata pentru școli” și „învățători demni dintre preoții comunelor”. Revizorul, ținând seama de insistența locuitorilor de a li se înființa cât mai repede școli, a propus să examineze personal „pe candidații găsiți dintre parohi pentru a fi învățători chiar în comunele lor” și să-i instaleze provizoriu.>[17]În urma aprobării acestei măsuri de urgență de către Minister, revizorul a putut înființa în timp de jumătate de an peste 100 de școli rurale în cele  două județe. Și în județele Bacău, Botoșani, Roman, Vaslui și Fălciu s-au înființat în anul 1865 numeroase școli sătești în fruntea cărora au fost numiți, în proporție de circa 50% preoții locali ori absolvenții de seminar.>[18]

Pe măsură ce școlile normale,înființate între anii 1867-1870 la București, Ploiești, Craiova, Focșani și Bârlad au început să dea primele promoții de absolvenți, numărul învățătorilor recrutați dintre preoți și seminariști s-a tot diminuat treptat, ajungând în iunie 1875 la 21%. În martie 1872, hotărându-se de către guvernul conservator o reducere a bugetului Ministerului Cultelor și Instrucțiunii Publice, Christian Tell, ministrul de resort, a decis desființarea școlilor normale întreținute de stat și anularea subvențiilor alocate celor patru școli ale Societății pentru învățătura poporului român, motivând că, în viitor, preoții sătești „vor fi și învățători rurali”. Dar în urma insistențelor lui P. Poenaru, C. Esarcu, Al. Odobescu, Carol Davila, N. Ionescu și mai ales a pledoariei lui Titu Maiorescu în fața deputaților, această măsură a fost revocată, Camera acceptând reintroducerea în buget a alocațiilor pentru școlile normale. Totuși, pentru rectificarea bugetului, Ch. Tell a hotărât ca numărul școlilor rurale să fie redus cu 250, iar cele 2000 rămase să fie împărțite în două categorii: școli de gradul I și școli de gradul II. La cele 400 școli de gradul I – unde salariul era 50 lei pe lună – urmau să fie încadrați normaliști, și, în limita locurilor, seminariștii; iar la cele 1600 școli de gradul II – unde leafa lunară era de 30 lei – trebuiau încadrați învățătorii cu pregătire inferioară (câteva clase gimnaziale ori cursul primar).>[19]

La 1 septembrie 1877, guvernul liberal a majorat retribuția învățătorilor, sporind-o la 80 lei pe lună pentru cei din școlile de gradul I și la 50 lei pe lună pentru cei încadrați la școlile de gradul II. Revizorii erau obligați, de astă dată, ca la școlile de gradul I să încadreze normaliștii, iar la cele de gradul II, seminariștii sau alți  învățători cu clase gimnaziale și numai la „neajungere cei cu clasele primare, alegând însă din cei mai buni, apți și devotați acestei cariere.” >[20] 

Această măsură, oarecum discriminatorie, a atras protestele multor preoți și seminariști, care au ținut să atragă atenția Ministerului că și seminariștii pot să devină învățători la fel de buni ca normaliștii, dacă au experiență, pregătire, „voință tare” și metodă adecvată înțelegerii sufletului elevului. Dăm un singur exemplu. Astfel, la 22 august 1877, într-o petiție către ministrul Instrucțiunii și Cultelor, Gh. Lateș din Rădășeni se plânge că de 19 ani funcționează neîntrerupt „ca învățător model de gradul I”, iar acum se vede redus la gradul II pe considerentul că are studii seminariale și nu normale. El arată că și-a îndeplinit cu exactitate datoria, făcând „ca instrucțiunea  să progreseze” în timpul servit și toate rapoartele revizorilor confirmă acest lucru. Deși preot – accentuează Lateș – „ocupând funcțiunea de învățător, am căutat a mă devota numai acestei cariere și nu am voit a ocupa nicio parohie, care s-ar fi putut a mă sustrage de la exercițiul funcției de învățător.” Completându-și mereu cunoștințele pe parcursul celor 19 ani de practică a găsit metodele cele mai bune prin care să formeze din elevi „oameni folositori societății”. >[21] Nu i s-a făcut însă dreptate, deși a revenit și cu alte petiții. 

După 1877, numărul seminariștilor din învățământul primar a scăzut mereu, ajungând – în unele județe – la un procent de circa 10% la începutul secolului XX. Atât ei cât și preoții în funcție serveau însă în numeroase cazuri ca suplinitori temporari ai învățătorilor. Când un normalist era repartizat la o școală dintr-un sat de munte ori dintr-o comună retrasă și, neconvenindu-i locul, se transfera în altă parte, atunci postul se scotea la concurs și, până la ocuparea lui, spre a nu se închide școala, preotul din localitate era rugat de revizor să suplinească pe învățătorul respectiv. Aceste supliniri durau uneori între trei luni și un an, când învățătorul, după numire, își avea de făcut stagiul militar.

În perioada neutralității și a primului război mondial, când peste 50% din învățători au fost concentrați, iar în 1916 mobilizați, tot preoții au fost aceia care s-au străduit să ducă mai departe făclia luminoasă a științei de carte în școlile primare  sătești. Mulți preoți, înțelegând dificultățile financiare ale guvernului, odată cu intrarea armatei în acțiune, au dat declarații că vor suplini în mod gratuit pe învățătorii mobilizați din satele lor. >[22] Este, totodată, de subliniat că în acele vremi tulburi, un număr relativ mare de preoți, dorind să rămână definitiv în învățământ, au dat un fel de examene de diferență mai ales din domeniul pedagogiei, în anii 1915 și 1916, la școlile normale din Iași, Bârlad și Câmpulung și, obținând diploma de capacitate, au cerut Ministerului numire provizorie la catedrele vacante, fiind „absolvenți normaliști”.>[23]

Prin zelul depus de acești preoți, alături de dascălii nemobilizați din cauza vârstei înaintate, școlile rurale au putut funcționa și în anii de restriște ai primului război mondial, îmbogățind patrimoniul învățământului și culturii românești. 


[1] Arhivele Naționale Istorice Centrale, (în continuare A.N.I.C.), Manuscris 47, f. 99, 122, 140 și 170.
[2] Ibidem, f. 135.
[3] Ibidem, ms. 103, f. 19-20.
[4] Ibidem, f. 77, 149, 155, 159, 270. Vezi și Gh. Pârnuță, Istoria învățământului și gândirea pedagogică din Țara Românească, Editura Didactică și Pedagogică, 1971, p. 223-227.
[5] G. D. Iscru, Contribuții privind învățământul la sate în Țara Românească până la jumătatea sec. al XIX-lea, Editura didactică și pedagogică, 1975, p. 23.
[6] V. A. Urechia, Istoria școalelor de la 1800-1864, tom IV, București, 1901, p. 377.
[7]  G.D. Iscru, op.cit., p. 24.
[8]  V.A. Urechia, op.cit., vol II, p. 1-2.
[9]  A.N.I.C., fond Ministerul Cultelor și Instrucțiunii Publice, dos. 3386/1840, f. 125; dos. 3388/1840, f. 409; dos. 3394/1940, f. 464.
[10]  V.A. Urechia, op.cit., vol II, p. 4.
[11]  Ibidem, p. 6-10.
[12]  Idem, Istoria școalelor sătești în România, p. 20-25.
[13] A.N.I.C., fond Ministerul Cultelor și Instrucțiunii Publice, Moldova, dos. 933/1857, f. 2.
[14] Ibidem, dos. 142/1861, f. 36 și 49.
[15]  Colecțiunea legilor, regulamentelor, programelor, 1864-1901, București, 1901, p. 13 și 22.
[16] Ibidem, p. 1365-1366.
[17] A.N.I.C., fond Ministerul Cultelor și Instrucțiunii Publice, dos. 422/1864, f. 356.
[18] Ibidem, dos. 526/1875, f. 6, 216;dos. 679/1865, f. 5-7.
[19] Ibidem, dos. 1562/1872, f. 15-19.
[20] Ibidem, dos. 3516/1877, f. 314.
[21] Ibidem, dos. 3448/1877, f. 61-72.
[22]Ibidem, dos. 40/1916, f. 110.
[23]Ibidem, dos. 1566/1915, f. 20-30; dos. 1296/1916, f. 22-23.

Mihai Viteazul, Domnul Munteniei, al Moldovei și al Ardealului, întâiul ctitor al bisericii metropolitane de la Alba Iulia, 1599

Istoria, cea mai frumoasă poveste…

Când am creat acum ceva ani categoria „Ora de științe” aici pe blog, știam că pentru început aceasta va avea doar o rubrică de matematică, pentru că timpul de atunci, (și nici cel de acum), nu îmi permitea să am o acoperire mai largă. În plus, capacitățile mele au și ele o limită, și până nu o voi trece eu, pe plan personal și profesional, nu vă pot împărtăși prea multe. Mi-ar fi util și să am mai mult sprijin extern, însă munca pe blog este una serioasă, ce implică mult timp consumat, și cel puțin în momentul de față nu-mi permit să solicit nimănui muncă de voluntariat, exceptându-l pe tatăl meu, care se ocupă de ani buni de articolele de matematică, și ajută, atât cât este posibil, la nivel online, copiii și părinții care cer ajutor.

Toamna aceasta, poate și pentru că lucrez intens la propria mea (re)formare, voi încerca să completez această rubrică cu „puțină istorie”. Am norocul, de ce să nu recunosc, să fi primit acceptul unui profesor cu mai multă experiență decât am îndrăznit eu să visez, și care, sub pseudonim, va colabora cu noi. Voi încerca la rândul meu să fiu la înălțime – sunt, la rându-mi, profesor de istorie, și, împreună, să dăm o mână de ajutor celor care fac primii pași pe acest tărâm – pentru noi minunat – al istoriei.

Mihai Viteazul, Domnul Munteniei, al Moldovei și al Ardealului, întâiul ctitor al bisericii metropolitane de la Alba Iulia, 1599

Mihai Viteazul, Domnul Munteniei, al Moldovei și al Ardealului, întâiul ctitor al bisericii metropolitane de la Alba Iulia, 1599. Fotografie realizată în pronaosul Catedralei Neamului din Alba Iulia.

Profit de acest articol introductiv spre a lansa cadrelor didactice care anul acesta predau la clasa a IV-a o întrebare: cu ce anume v-am putea veni în ajutor? Menționez că această rubrică nu va încuraja pirateria, traficul de materiale ori de proiecte de lecție, însă ne vom strădui să facem recomandări accesibile, și la nivel de text, pe înțelesul tuturor. La fel, nu promit că putem răspunde tuturor. Am citit programa, din punctul meu personal de vedere este complet lipsită de logică și viziune, și nu-i ajută deloc pe copii. Nu au nici vârsta, nici cunoștințele necesare pentru o astfel de abordare a istoriei.

Iarăși, un lucru pe care poate îl privesc subiectiv: este greu să predai o lecție în care nu crezi. Sunt astăzi mulți profesori la ciclul primar care declară cu mâna pe inimă că nu le place istoria. Cum să predai, pe înțelesul copiilor, dacă în ceea ce dai mai departe ei vor simți acest lucru? Să nu uităm că pentru ei, „doamna” este modelul și centrul lumii, nici mama nu are vreun cuvânt de spus în fața ei. Cum să le creăm o atitudine deschisă și pozitivă față de istorie, dacă mesajul transmis va avea, fără să vrem, această umbră?

Mă doare că pornim de la ideea că „învățăm pentru că este în programă”. Da, este în programă, recunosc. Dar hai să-l înlocuim pe acest „trebuie” cu „avem nevoie”. Mă doare când văd la copiii mei aceste sentimente. Nu m-am implicat, pentru că nu am vrut să-i influențez. Andrei are parte de un profesor prea strict, care nu a descoperit încă acea metodă care să le trezească curiozitatea. Cu Iris am început eu, prin lecțiile altfel, în teritoriu sau în muzeu, să-i dau încet-încet acea dragoste pentru trecut, pentru cine suntem și de unde venim. În curând o voi face și la clasă, la clasa a IVa, căci la a cincea am avut deja ocazia.

Însă va fi pentru mine un sentiment copleșitor, complet diferit. În clasa a Va copiii veneau deja cu o idee preconcepută. Știau dacă le place sau nu, și mă judecau cu o etichetă. Nu știu dacă am reușit să le arăt că poate fi și altfel această oră, însă știu că nu mi-au lipsit niciodată harta, atlasul, imaginile, și nu-mi amintesc să fi discutat vreodată despre cultura vreunui popor fără să aduc albumele la clasă. Prima mea lecție de istorie la clasa a IVa va fi mai mult decât mi-am imaginat, eu voi fi cea care va crea „eticheta” (deși urăsc termenul) – nouă ne place sau nu ne place istoria.

Închei cu un citat care mie îmi place foarte mult. Aparține unui profesor cu care am lucrat în facultate, chiar dacă puțin, căci specializarea mea a fost pe epoca veche:

Istoria rămâne cea mai frumoasă poveste, pentru oameni inteligenți. (Adrian Cioroianu)

 

Matematica: ultima cifra a unui numar natural

Mi-am propus să o dezvolt într-o mică expunere pentru cei interesaţi o temă pe care nu o găsim expusă sistematic în manualul şcolar, dar solicitată de multe ori aici pe blog.

Prin ultima cifră a unui număr înţelegem cifra unităţilor. Ultima cifră a numărului 4 este 4. Ultima cifră a numărului 23 este 3. Ultima cifră a numărului 157 este 7.

Se notează astfel:

  • U(4) = 4
  • U(23) = 3
  • U(157) = 7

Putem să extindem această noţiune pentru o sumă, pentru un produs în felul următor.

U(a+b)=U(a)+U(b) şi U(a*b)=U(a)*U(b).

Iată câte un exemplu.

U(12+17)=U(12)+U(17)=2+7=9
şi
U(12*17)=U(12)*U(17)=U(2*7)=U(14)=4.

Dacă vom studia ultima cifră a numerelor vom observa că unele au mereu ultima cifră aceeaşi, altele nu. Din prima categorie fac parte numerele care se termină cu 0, 1, 5 si 6. Să considerăm câte un exemplu din fiecare.

Fie 10 1=10; 10 2=100; 10 3=1000 şamd.
Observăm că 10 ridicat la orice putere, diferită de zero, are ultima cifră 0.

Fie 11 1=11; 11 2=121; 11 3=1331, şamd.
Observăm că 11 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.

Fie 5 1=5; 5 2 =25; 5 3=125, şamd.
Observăm că numărul 5 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 5.

Fie 6 1=6; 6 2 =36; 6 3=216, şamd.
Observăm că numărul 6 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 6.

Din cele prezentate reţinem următoarele:

a) Un număr care are ultima cifră 0 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 0.
b) Un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.
c) Un număr care are ultima cifră 5 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 5.
d) Un număr care are ultima cifră 6, ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 6.

Pentru un numar care are ultima cifră diferită de cele de mai sus, se procedează ca in exemplul urmator.

Să se afle ultima cifră a numarului 2 2015. (Se procedează la fel pentru 12 2015).

Calculăm câteva puteri. 2 1=2; 2 2=4; 2 3=8; 2 4=16; 2 5=32; 2 6=64; 2 7=128; 2 8=256; şamd.
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 2 4 sau 8 sau 12 sau 16…, are ultima cifră 6 ( un număr cu ultima cifră 6).
Din acest motiv, împărţim 2015 la 4 şi obţinem câtul 503 şi rest 3, ceea ce se scrie 2015=503×4+3.
Vom scrie U(2 2015)=U( 2 503×4+3)=U( 2 503×4)*U( 2 3)=U(( 2 4) 503)*8=U( 16 503)*8= U(6*8)=  =U(48)=8.

Ca temă, calculati, după acelaşi model, 3 2015, 4 2015, 7 2015, 8 2015 si 9 2015.

Cu aceste minime cunoştinte putem afla ultima cifră pentru diverse sume si produse.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor si sistemelor de ecuatii

Aş vrea să prezint în cele ce urmează cum trebuie să procedăm atunci când rezolvăm probleme cu ajutorul ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii. Orice problemă de matematică am avea de rezolvat, ea trebuie mai întâi înţeleasă, trebuie să găsim legaturile ce există între mărimile date în textul ei şi apoi să-l transpunem în limbaj matematic.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor sau sistemelor de ecuaţii se face parcurgând câteva etape obligatorii, fără a fi necesar să le precizăm de fiecare dată în scris, în redactarea rezolvării.

Paşii necesari:

  1. găsirea necunoscutei (necunoscutelor) din problemă;
  2. scrierea modelului matematic (a ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii);
  3. rezolvarea ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii;
  4. verificarea şi interpretarea rezultatului găsit. De ce şi interpretarea rezultatului? Pentru că ne putem da seama de eventualele greşeli de calcul pe care le-am făcut! 

Precizez că şi aici trebuie să cunoaştem foarte bine semnificaţia cuvintelor cheie:

  • cu atât mai mult – adunare;
  • cu atât mai puţin – scădere;
  • de atâtea ori mai mult – înmulţire;
  • de atătea ori mai puţin – împărţire;
  • numărul x mărit cu 2 se scrie x+2;
  • numărul x micşorat cu 2 se scrie x-2;
  • numărul x mărit de 2 ori se scrie 2x;
  • numărul x micşorat de doua ori se scrie x:2, etc.

Voi rezolva ca model câte o problemă din fiecare.

1. Un număr este cu 2 mai mare decât altul. Aflaţi numerele dacă suma lor este 24.

Fie x numărul mai mic; celălalt este x+2.

Obţinem ecuatia: x+x+2=24
2x+2=24
2x=24-2
2x=22
x=22:2
x=11(I)
11+2=13(II)

Verificare:11+13=24

2.Suma a două numere este 24, iar diferenţa lor este 4. Aflaţi numerele.

Fie x şi y numerele necunoscute.
Obţinem sistemul x+y=24 & x-y=4.
Adunăm membru cu membru şi obţinem 2x=28 & x+y=24
x=28:2 & x+y=24, de unde
x=14 & 14+y=24 sau
x=14 & y=24-14 sau
x=14 & y=10

Verificare 14+10 =24 & 14-10=4.

Culegerile de probleme existente pe piaţa  conţin multe astfel de probleme. Cu cât rezolvăm mai multe  probleme cu atât ne vom descurca mai bine ca rezolvitori!

 


Proprietatile egalitatilor in multimea numerelor naturale

Fie a şi b două numere naturale; scrierea a=b desemnează egalitatea numerelor a şi b. În această egalitate, a se numeşte membrul stâng al egalitaţii (membrul întâi al egalitaţii), iar b membrul drept al egalitaţii (membrul doi al egalitaţii). Exemple: 5=5, 7=7, 100=100.

1. Dacă avem o egalitate şi adunăm în ambii membri acelaşi număr natural, obţinem tot o egalitate. Din 3=3, adunând 7 în ambii membri, obţinem 3+7=3+7, sau 10=10, adică tot o egalitate.

2. Dacă avem o egalitate şi scădem din ambii membri acelaşi  număr natural (scăderea să se poată face), obţinem  tot o egalitate. Din 11=11, scăzând 6 din ambii membri, obţinem 11-6=11-6, sau 5=5, adică tot o egalitate.

3. Dacă avem o egalitate şi înmulţim ambii membri cu acelaşi număr natural, obţinem tot o egalitate. Din 8=8, înmulţind ambii membri cu 7, obţinem 8*7=8*7, sau 56=56, adică tot o egalitate.

4. Dacă avem o egalitate şi împărţim ambii membri cu un număr natural diferit de zero şi împărţirea se poate face, obţinem  tot o egalitate. Din 15=15, împarţind ambii membri cu 5, obţinem 15:5=15:5, sau 3=3, adică tot o egalitate.

5. Dacă avem două egalităţi şi le adunăm membru cu membru, obţinem tot o egalitate. Din 4=4 şi 7=7, adunând membru cu membru obţinem 4+7=4+7 sau 11=11, adică tot o egalitate.

6. Dacă avem două egalităţi şi le scădem membru cu membru şi scăderea se poate face, obţinem tot o egalitate. Din 13=13 si 5=5, scăzând membru cu membru obţinem 13-5=13-5 sau 8=8, adică tot o egalitate.

7. Dacă avem două egalităţi şi le înmulţim membru cu membru, obţinem tot o egalitate. Din 14 =14 si 3=3, înmulţind membru cu membru obţinem14*3=14*3 sau 42=42, adică tot o egalitate.

8. Dacă avem  două  egalitaţi şi le împărţim membru cu membru şi împărţirea se poate face, obţinem tot o egalitate. Din 18=18 si 6=6, împărţind membru cu membru, obţinem 18:6=18:6 sau 3=3, adică tot o egalitate.

Observaţie: Proprietăţile egalităţilor rămân valabile şi în celelalte mulţimi de numere: întregi, raţionale, iraţionale, reale. Unele restricţii nu mai sunt necesare, altele se menţin.

Ca exerciţii puteţi încerca cele de mai sus şi pe alte exemple.


Cariera de elev: repetent sau corigent?

În ultimul timp am observat cu tristeţe că din ce în ce mai mulţi elevi vin la şcoală nepregatiţi. Nu-şi învaţă lecţiile, nu-şi fac temele, nu sunt disciplinaţi. Instrumentele de “constrângere” aflate la îndemâna unui profesor au scăzut îngrijorător. Nota la purtare nu-i mai interesează!

Corigenţa parcă nu-şi mai are rostul. Vin la corigenţa şi cu un efort “mai mic” decât minim, trece clasa pentru a reveni anul următor – la aceeaşi corigenţă – de parcă nu s-ar fi întâmplat nimic. Se fac în şcolile noastre o sumedenie de studii, acesta ar trebui să fie unul dintre ele: în ce măsură corigenţa reprezintă un punct „normal” în cariera unui elev.

Îndrăznesc să mă gândesc în acest sens la eliminarea corigenţei şi a repetenţiei. Pentru aceasta propun să notăm în mod real elevii, cu note, cu adevărat de la 1 la 10. În acest mod avem o situatie reală asupra modului cum învaţă în prezent copiii. De ce să le dăm nota cinci la corigenţă, pentru că el nu a învăţat cu adevărat niciodată?!

Va trece clasa cu medii de doi şi trei, va fi şi mai uşor la repartizare la liceu, pentru că nu poate ridica pretentii. Ar mai fi ceva. Între cel care învaţă permanent şi are nota 10 şi cel care nu învaţă sistematic şi are nota 5, distanţa este prea mică, şi nu reflectă deloc realitatea. Dacă cel ce nu învaţă ar avea media, ori medii de 2, am fi mai aproape de adevăr. Ar trebui luat în seamă că, în ultimul timp, la Evaluarea naţională, sunt destui elevi care au note sub 5 şi tot intra la liceu. Atunci de ce să nu notăm aşa cum am propus mai sus?

Nu propun acest lucru pentru a-i pedepsi pe cei care nu consideră că şcoala merită o investiţie de efort, ci pentru a le recunoaşte cu adevărat meritele acelor elevi pentru care şcoala reprezintă o treaptă în dezvoltarea lor.


Mate2000 (Editura Paralela 45) si concursul COMPER


 Update 7 mai 2011: Conform Regulamentului, la Etapa a II-a a Concursului Şcolar Naţional COMPER se pot înscrie şi elevi care nu au participat la prima etapă. De asemenea, organizatorul are rugămintea ca grilele de punctaj să fie printate de pe site-ul concursului, cu respectarea strictă a specificaţiilor. Data limită de înscriere pentru etapa a doua este 15 mai 2011, probele urmând a se desfăşura pe 18 mai, la Limba şi literatura română, şi 25 mai la Matematică. Elevii pot participa numai sub coordonarea unui cadru didactic.

Succes tuturor participanţilor!


 12 ianuarie 2011:
Mate2000. Editura Paralela 45 De azi într-o săptămână avem emoţii, căci se desfăşoară proba la matematică în cadrul concursurilor naţionale COMPER. Cum am ajuns noi să participăm? Simplu… de la începutul anului ne-am cumpărat, toată clasa, culegerea pentru matematică. Ca o paranteză, până să ajungem la şcoală, tot auzeam şcolarii vorbind de culegeri, şi mă cam îngrozea ideea. Când eram noi şcolari, culegerile erau ceva high-level, să ajungi să ai temă de-acolo era SF, doar la cercul de matematică se deschidea culegerea cu "Roboţel". Am ajuns la şcoală şi am constatat că acum nu mai e o sperietoare, e un fel de revistă cu jocuri adaptată programei. Ok, hai că e exagerat cu revistă, dar e amuzant să lucrezi pe ea. Nu mai simţi că dai piept cu uraganul, doar exersezi ceea ce ai învăţat, pentru o mai bună fixare a cunoştinţelor.

Cam asta facem noi de la începutul anului cu Mate2000. Ce mi-a plăcut a fost în primul rând ideea de a oferi copiilor, pe lângă culegere, şi o probă de concurs. Culegerea reprezită "biletul" de participare, căci la sfârşit este inserată fişa de concurs pentru fiecare elev. Şi, dacă punem la socoteală celelalte concursuri, la care plăteşti pentru participare cam aceeaşi sumă, dar nu primeşti nimic în plus, cred că alegerea nu e rea deloc. Există variante pentru toţi anii de studiu, primar şi gimnazial, pentru română şi matematică.

Aseară ne-am jucat un pic cu testele pentru proba de limba română, care se desfăşoară astăzi. Pe site îţi poţi face cont de elev, şi ai acces atât la testul de antrenament (poate nu era o idee era să fie mai multe…) cât şi la cele 5 variante pentru concurs, care se afişează cu o zi înainte. Personal nu îmi plac testele anunţate. Ok, anunţi modelul de subiect, dar subiectul efectiv… să nu mă întrebaţi ce părere am despre examenul de bac, când ştii dinainte ce poate fi scris pe bilete. Roboţei creăm, de roboţei avem parte…

Am avut şi ceva bătaie de cap cu testele, în primul rând pentru că noi nu am ajuns la litera "L". Cred că abia vineri îl vor învăţa. Apoi, nici structura unui text, cu ce este acela "titlu", nu am studiat, urmează. I-am explicat pe loc, şi a înţeles ce-i de făcut.

Am hotărât ca la proba de matematică să nu-i arăt subiectele înainte. Asta e, nu avem nimic de pierdut, şi nici de câştigat. Vreau să văd ce poate face cu un test la prima vedere. Vom avea apoi timp suficient să rezolvăm toate variantele propuse.

Îi ţinem pumnii doamnei învăţătoare, să aibă net, să meargă xeroxul, pentru că participarea este posibilă numai cu ajutorul dânsei. Ca elev independent, sau ca părinte, nu poţi participa. Ştiu că o diplomă de mentor nu va răsplăti efortul depus, aşa că sper ca satisfacţiile să vină din succesele copiilor. Multă baftă, clasa IB!

Legături utile: Culegerea Mate 2000, Concursurile COMPER , Regulamentul de participare.


Rezolvarea problemelor de matematica prin metoda reducerii la unitate

Prin această metodă se rezolvă multe probleme de matematică, în care datele depind unele de altele.
Pentru cei pasionaţi de matematică, aici se încadrează problemele în care apar mărimi direct proporţionale şi invers proportionale, care se rezolvă prin procedeul proporţiilor şi prin procedeul reducerii la unitate folosit în clasa a IV-a. Voi exemplifica prin rezolvarea câtorva probleme. Se numeşte metoda reducerii la unitate deoarece, întotdeauna, se află cât valoreaza unitatea.

Problema 1. O persoană cumpără 5 kg de mere şi plăteşte 15 lei. Dacă va cumpăra 7 kg de mere de aceeaşi calitate, cât va plăti?
Rezolvare. Dacă 5 kg de mere valoreaza 15 lei, atunci 1 kg va costa de 5 ori mai puţin,
adica 15 lei : 5 = 3 lei. 7 kg de mere vor costa de 7 ori mai mult, adică 3 lei x 7 = 21 lei.

Calculele se pot aseza astfel:
5 kg ………………………………..15 lei
1 kg…………………….15 lei : 5 = 3 lei
7 kg…………………….3 lei x 7 = 21 lei

Problema 2. Un bazin se umple prin 3 robinete în 15 ore. În cât timp vor umple acelaşi bazin 9 robinete care au acelasi debit?
Rezolvare. Dacă bazinul se umple folosind 3 robinete în 15 ore, un singur robinet o va face într-un timp de 3 ori mai mare, adică 15 ore x 3 = 45 ore. Cele 9 robinete vor umple bazinul într-un timp de 9 ori mai mic, adică 45 ore : 9 = 5 ore.

Calculele se pot aseza astfel:
3 robinete……………………………………………15 ore
1 robinet…………………………..15 ore x 3= 45 ore
 9 robinete………………………….45 ore : 9=   5 ore

Pentru cei ce cunosc operaţii cu fracţii, voi rezolva o problema la nivelul clasei a VI-a, tot prin metoda reducerii la unitate.

Problema 3. Pentru a ara 810 ha de teren arabil, 6 tractoare au lucrat 45 de zile. Dacă ar trebui să arăm 2100 ha şi dispunem de 10 tractoare, cât timp le va fi necesar? (Presupunem că tractoarele îndeplinesc aceeaşi normă).

Rezolvare. În acest caz, vom reduce, pe rând, la unitate, suprafaţa şi numărul de tractoare, apoi se revine, invers, la datele cerute. Dacă 810 ha au fost arate de 6 tractoare în 45 de zile, 1 ha va fi arat de 6 tractoare în 45 zile : 810.
Tot 1 ha va fi arat de 1 tractor într-un timp de 6 ori mai lung adică (45 zile : 810) x 6. 
Tot 1 ha va fi arat de 10 tractoare  mai repede, adică [(45 zile :810)x 6] : 10.
Pentru a ara 2100 ha va dura mai mult, adică {[( 45 zile : 810)x 6] :10}x 2100
şi după efectuarea calculelor obţinem 70 de zile. 

Calculele se pot aseza astfel:
810 ha…………….6 tractoare………………….45 zile
 1 ha………………6 tractoare…………………..45 zile:810
 1 ha………………1 tractor……………………..(45 zile:810)x 6
1 ha………………10 tractoare………………….[(45 zile:810)x 6]: 10
2100 ha………..10 tractoare……………..{[(45 zile:810)x 6]: 10}x 2100= 70 zile   

Vă propun spre rezolvare următoarele probleme:
1. O gospodină a cumpărat 13 kg de cartofi şi a plătit 26 de lei. Cât a plătit alta gospodină, dacă a cumparat 7 kg de cartofi de aceeaşi calitate?
2. O echipă de 50 de muncitori termină o lucrare în 30 de zile. În cât timp va termina aceeaşi lucrare o echipă de 15 muncitori? (Toţi muncitorii îndeplinesc aceeaşi normă).
3. Un fermier are 5 vaci, care timp de 30 de zile consuma 1800 kg de furaj. Cât furaj consumă 12 vaci în 18 zile, daca raţia (porţia) unei vaci pe zi rămane aceeaşi?

Postează într-un comentariu la acest articol rezolvarea, şi vei primi răspuns dacă este corectă.

 


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.


Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda falsei ipoteze

Problemele care se pot rezolva prin această metodă sunt de două tipuri. Cele de tipul unu necesită o singură ipoteză, iar cele tipul al doilea, două sau mai multe ipoteze succesive.

Metoda se numeşte a falsei ipoteze, deoarece se consideră că ipoteza nu corespunde cu adevărul.

Pentru exemplificare voi rezolva următoarea problemă:

Într-un bloc sunt apartamente cu două camere şi cu trei camere, în total 20 de apartamente şi 45 de camere. Câte apartamente au două camere şi câte au trei camere?

Rezolvarea I. Presupunem că în bloc sunt numai apartamente cu două camere şi atunci vor fi

20 x 2 camere = 40 camere.

Diferenţa de camere,

45-40= 5 camere

apare din faptul că sunt şi apartamente cu trei camere. Cele 5 camere le vom împarţi, adăugând câte una, 5:1= 5, la 5 apartamente, pentru că unele au 3 camere. Înseamnă că sunt 5 apartamente cu trei camere, iar cu două camere vor fi

20-5=15 apartamente.

Rezolvarea II. Presupunem că în bloc sunt numai apartamente cu trei camere şi atunci vor fi

20x 3 camere= 60 camere.

Diferenţa de camere,

60-45= 15 camere

apare din faptul că sunt şi apartamente cu două camere.Vom lua câte o cameră de la 15:1=15 apartamente.Vor fi 15 apartamente cu două camere, iar cu trei camere vor fi

20-15= 5 apartamente.

Rezolvaţi asemănător problemele:
1) Într-un bloc sunt apartamente cu 4 camere si cu 2 camere, în total 24 apartamente şi 68 de camere.Câte apartamente sunt de fiecare tip?
2) Într-o curte sunt găini şi iepuri, în total 33 de capete şi 106 picioare. Câte găini şi câţi iepuri sunt în curte?

Postează răspunsurile tale la acest articol şi vei afla dacă ai rezolvat corect.

Spor la lucru!


Important!
Nu posta probleme fără a menționa în ce clasă ești și neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au împotmolit la rezolvare.
Mesajele care conțin doar cerintele problemei vor fi mai mult ca sigur ignorate.


 

Rezolvarea problemelor de matematica prin metoda mersului invers

Această metodă de rezolvare a problemelor de matematică se aplică problemelor în care datele depind succesiv unele de altele. Enunţul problemei trebuie urmărit de la sfârşit către început.
În timpul rezolvării efectuăm operaţia inversă celei care apare în enunţ, ceea ce înseamnă că nu numai mersul este invers, ci şi operaţiile pe care le facem sunt inverse celor celor din enunţul problemei.
Proba se face aplicând numărului determinat operaţiile din enunţul problemei. Voi exemplifica prin rezolvarea următoarei probleme:

M-am gândit la un număr, l-am înmulţit cu 10, la rezultat am adunat 16, suma am împarţit-o la 6, iar din cât am scăzut 10, obţinând 56. Aflaţi numărul.

Rezolvare I.
Numărul din care am scăzut 10 este

56 + 10 = 66.

Numărul care împărţit la 6 dă 66 este

66×6= 396.

Numărul care adunat cu 16 dă 396 va fi

396 – 16 = 380.

Şi în sfârşit, numărul care înmulţit cu 10 dă 380 este

380 :10= 38.

Numărul căutat este 38.

Rezolvare II.

Redactarea rezolvării o puteam aranja şi astfel: notăm cu a numărul necunoscut şi obţinem:

( a x 10 + 16 ) : 6 – 10 = 56.

Calculele se ordonează astfel:

( a x 10 + 16 ) : 6 = 56 + 10
( a x 10 + 16 ) : 6 = 66
a x 10 + 16 = 66 x 6
a x 10 + 16 = 396
a x 10 = 396 – 16
a x 10 = 380
a = 380 : 10
a = 38

Proba sau verificarea rezultatului este următoarea: 38×10=380, apoi 380+16=396 şi 396:6= 66; în sfârşit, 66 -10 = 56, ceea ce corespunde enunţului.

Rezolvaţi, folosind aceeaşi metodă, problema:

Un număr se împarte la 7, din cât se scade 17, diferenţa se înmulţeşte cu 5, iar la produs se adună 15, obţinându-se astfel 20. Aflaţi numărul.


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.