Mihai Viteazul, Domnul Munteniei, al Moldovei și al Ardealului, întâiul ctitor al bisericii metropolitane de la Alba Iulia, 1599

Istoria, cea mai frumoasă poveste…

Când am creat acum ceva ani categoria „Ora de științe” aici pe blog, știam că pentru început aceasta va avea doar o rubrică de matematică, pentru că timpul de atunci, (și nici cel de acum), nu îmi permitea să am o acoperire mai largă. În plus, capacitățile mele au și ele o limită, și până nu o voi trece eu, pe plan personal și profesional, nu vă pot împărtăși prea multe. Mi-ar fi util și să am mai mult sprijin extern, însă munca pe blog este una serioasă, ce implică mult timp consumat, și cel puțin în momentul de față nu-mi permit să solicit nimănui muncă de voluntariat, exceptându-l pe tatăl meu, care se ocupă de ani buni de articolele de matematică, și ajută, atât cât este posibil, la nivel online, copiii și părinții care cer ajutor.

Toamna aceasta, poate și pentru că lucrez intens la propria mea (re)formare, voi încerca să completez această rubrică cu „puțină istorie”. Am norocul, de ce să nu recunosc, să fi primit acceptul unui profesor cu mai multă experiență decât am îndrăznit eu să visez, și care, sub pseudonim, va colabora cu noi. Voi încerca la rândul meu să fiu la înălțime – sunt, la rându-mi, profesor de istorie, și, împreună, să dăm o mână de ajutor celor care fac primii pași pe acest tărâm – pentru noi minunat – al istoriei.

Mihai Viteazul, Domnul Munteniei, al Moldovei și al Ardealului, întâiul ctitor al bisericii metropolitane de la Alba Iulia, 1599

Mihai Viteazul, Domnul Munteniei, al Moldovei și al Ardealului, întâiul ctitor al bisericii metropolitane de la Alba Iulia, 1599. Fotografie realizată în pronaosul Catedralei Neamului din Alba Iulia.

Profit de acest articol introductiv spre a lansa cadrelor didactice care anul acesta predau la clasa a IV-a o întrebare: cu ce anume v-am putea veni în ajutor? Menționez că această rubrică nu va încuraja pirateria, traficul de materiale ori de proiecte de lecție, însă ne vom strădui să facem recomandări accesibile, și la nivel de text, pe înțelesul tuturor. La fel, nu promit că putem răspunde tuturor. Am citit programa, din punctul meu personal de vedere este complet lipsită de logică și viziune, și nu-i ajută deloc pe copii. Nu au nici vârsta, nici cunoștințele necesare pentru o astfel de abordare a istoriei.

Iarăși, un lucru pe care poate îl privesc subiectiv: este greu să predai o lecție în care nu crezi. Sunt astăzi mulți profesori la ciclul primar care declară cu mâna pe inimă că nu le place istoria. Cum să predai, pe înțelesul copiilor, dacă în ceea ce dai mai departe ei vor simți acest lucru? Să nu uităm că pentru ei, „doamna” este modelul și centrul lumii, nici mama nu are vreun cuvânt de spus în fața ei. Cum să le creăm o atitudine deschisă și pozitivă față de istorie, dacă mesajul transmis va avea, fără să vrem, această umbră?

Mă doare că pornim de la ideea că „învățăm pentru că este în programă”. Da, este în programă, recunosc. Dar hai să-l înlocuim pe acest „trebuie” cu „avem nevoie”. Mă doare când văd la copiii mei aceste sentimente. Nu m-am implicat, pentru că nu am vrut să-i influențez. Andrei are parte de un profesor prea strict, care nu a descoperit încă acea metodă care să le trezească curiozitatea. Cu Iris am început eu, prin lecțiile altfel, în teritoriu sau în muzeu, să-i dau încet-încet acea dragoste pentru trecut, pentru cine suntem și de unde venim. În curând o voi face și la clasă, la clasa a IVa, căci la a cincea am avut deja ocazia.

Însă va fi pentru mine un sentiment copleșitor, complet diferit. În clasa a Va copiii veneau deja cu o idee preconcepută. Știau dacă le place sau nu, și mă judecau cu o etichetă. Nu știu dacă am reușit să le arăt că poate fi și altfel această oră, însă știu că nu mi-au lipsit niciodată harta, atlasul, imaginile, și nu-mi amintesc să fi discutat vreodată despre cultura vreunui popor fără să aduc albumele la clasă. Prima mea lecție de istorie la clasa a IVa va fi mai mult decât mi-am imaginat, eu voi fi cea care va crea „eticheta” (deși urăsc termenul) – nouă ne place sau nu ne place istoria.

Închei cu un citat care mie îmi place foarte mult. Aparține unui profesor cu care am lucrat în facultate, chiar dacă puțin, căci specializarea mea a fost pe epoca veche:

Istoria rămâne cea mai frumoasă poveste, pentru oameni inteligenți. (Adrian Cioroianu)

 

Matematica: ultima cifra a unui numar natural

Mi-am propus să o dezvolt într-o mică expunere pentru cei interesaţi o temă pe care nu o găsim expusă sistematic în manualul şcolar, dar solicitată de multe ori aici pe blog.

Prin ultima cifră a unui număr înţelegem cifra unităţilor. Ultima cifră a numărului 4 este 4. Ultima cifră a numărului 23 este 3. Ultima cifră a numărului 157 este 7.

Se notează astfel:

  • U(4) = 4
  • U(23) = 3
  • U(157) = 7

Putem să extindem această noţiune pentru o sumă, pentru un produs în felul următor.

U(a+b)=U(a)+U(b) şi U(a*b)=U(a)*U(b).

Iată câte un exemplu.

U(12+17)=U(12)+U(17)=2+7=9
şi
U(12*17)=U(12)*U(17)=U(2*7)=U(14)=4.

Dacă vom studia ultima cifră a numerelor vom observa că unele au mereu ultima cifră aceeaşi, altele nu. Din prima categorie fac parte numerele care se termină cu 0, 1, 5 si 6. Să considerăm câte un exemplu din fiecare.

Fie 10 1=10; 10 2=100; 10 3=1000 şamd.
Observăm că 10 ridicat la orice putere, diferită de zero, are ultima cifră 0.

Fie 11 1=11; 11 2=121; 11 3=1331, şamd.
Observăm că 11 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.

Fie 5 1=5; 5 2 =25; 5 3=125, şamd.
Observăm că numărul 5 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 5.

Fie 6 1=6; 6 2 =36; 6 3=216, şamd.
Observăm că numărul 6 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 6.

Din cele prezentate reţinem următoarele:

a) Un număr care are ultima cifră 0 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 0.
b) Un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.
c) Un număr care are ultima cifră 5 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 5.
d) Un număr care are ultima cifră 6, ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 6.

Pentru un numar care are ultima cifră diferită de cele de mai sus, se procedează ca in exemplul urmator.

Să se afle ultima cifră a numarului 2 2015. (Se procedează la fel pentru 12 2015).

Calculăm câteva puteri. 2 1=2; 2 2=4; 2 3=8; 2 4=16; 2 5=32; 2 6=64; 2 7=128; 2 8=256; şamd.
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 2 4 sau 8 sau 12 sau 16…, are ultima cifră 6 ( un număr cu ultima cifră 6).
Din acest motiv, împărţim 2015 la 4 şi obţinem câtul 503 şi rest 3, ceea ce se scrie 2015=503×4+3.
Vom scrie U(2 2015)=U( 2 503×4+3)=U( 2 503×4)*U( 2 3)=U(( 2 4) 503)*8=U( 16 503)*8= U(6*8)=  =U(48)=8.

Ca temă, calculati, după acelaşi model, 3 2015, 4 2015, 7 2015, 8 2015 si 9 2015.

Cu aceste minime cunoştinte putem afla ultima cifră pentru diverse sume si produse.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor si sistemelor de ecuatii

Aş vrea să prezint în cele ce urmează cum trebuie să procedăm atunci când rezolvăm probleme cu ajutorul ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii. Orice problemă de matematică am avea de rezolvat, ea trebuie mai întâi înţeleasă, trebuie să găsim legaturile ce există între mărimile date în textul ei şi apoi să-l transpunem în limbaj matematic.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor sau sistemelor de ecuaţii se face parcurgând câteva etape obligatorii, fără a fi necesar să le precizăm de fiecare dată în scris, în redactarea rezolvării.

Paşii necesari:

  1. găsirea necunoscutei (necunoscutelor) din problemă;
  2. scrierea modelului matematic (a ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii);
  3. rezolvarea ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii;
  4. verificarea şi interpretarea rezultatului găsit. De ce şi interpretarea rezultatului? Pentru că ne putem da seama de eventualele greşeli de calcul pe care le-am făcut! 

Precizez că şi aici trebuie să cunoaştem foarte bine semnificaţia cuvintelor cheie:

  • cu atât mai mult – adunare;
  • cu atât mai puţin – scădere;
  • de atâtea ori mai mult – înmulţire;
  • de atătea ori mai puţin – împărţire;
  • numărul x mărit cu 2 se scrie x+2;
  • numărul x micşorat cu 2 se scrie x-2;
  • numărul x mărit de 2 ori se scrie 2x;
  • numărul x micşorat de doua ori se scrie x:2, etc.

Voi rezolva ca model câte o problemă din fiecare.

1. Un număr este cu 2 mai mare decât altul. Aflaţi numerele dacă suma lor este 24.

Fie x numărul mai mic; celălalt este x+2.

Obţinem ecuatia: x+x+2=24
2x+2=24
2x=24-2
2x=22
x=22:2
x=11(I)
11+2=13(II)

Verificare:11+13=24

2.Suma a două numere este 24, iar diferenţa lor este 4. Aflaţi numerele.

Fie x şi y numerele necunoscute.
Obţinem sistemul x+y=24 & x-y=4.
Adunăm membru cu membru şi obţinem 2x=28 & x+y=24
x=28:2 & x+y=24, de unde
x=14 & 14+y=24 sau
x=14 & y=24-14 sau
x=14 & y=10

Verificare 14+10 =24 & 14-10=4.

Culegerile de probleme existente pe piaţa  conţin multe astfel de probleme. Cu cât rezolvăm mai multe  probleme cu atât ne vom descurca mai bine ca rezolvitori!

 


Proprietatile egalitatilor in multimea numerelor naturale

Fie a şi b două numere naturale; scrierea a=b desemnează egalitatea numerelor a şi b. În această egalitate, a se numeşte membrul stâng al egalitaţii (membrul întâi al egalitaţii), iar b membrul drept al egalitaţii (membrul doi al egalitaţii). Exemple: 5=5, 7=7, 100=100.

1. Dacă avem o egalitate şi adunăm în ambii membri acelaşi număr natural, obţinem tot o egalitate. Din 3=3, adunând 7 în ambii membri, obţinem 3+7=3+7, sau 10=10, adică tot o egalitate.

2. Dacă avem o egalitate şi scădem din ambii membri acelaşi  număr natural (scăderea să se poată face), obţinem  tot o egalitate. Din 11=11, scăzând 6 din ambii membri, obţinem 11-6=11-6, sau 5=5, adică tot o egalitate.

3. Dacă avem o egalitate şi înmulţim ambii membri cu acelaşi număr natural, obţinem tot o egalitate. Din 8=8, înmulţind ambii membri cu 7, obţinem 8*7=8*7, sau 56=56, adică tot o egalitate.

4. Dacă avem o egalitate şi împărţim ambii membri cu un număr natural diferit de zero şi împărţirea se poate face, obţinem  tot o egalitate. Din 15=15, împarţind ambii membri cu 5, obţinem 15:5=15:5, sau 3=3, adică tot o egalitate.

5. Dacă avem două egalităţi şi le adunăm membru cu membru, obţinem tot o egalitate. Din 4=4 şi 7=7, adunând membru cu membru obţinem 4+7=4+7 sau 11=11, adică tot o egalitate.

6. Dacă avem două egalităţi şi le scădem membru cu membru şi scăderea se poate face, obţinem tot o egalitate. Din 13=13 si 5=5, scăzând membru cu membru obţinem 13-5=13-5 sau 8=8, adică tot o egalitate.

7. Dacă avem două egalităţi şi le înmulţim membru cu membru, obţinem tot o egalitate. Din 14 =14 si 3=3, înmulţind membru cu membru obţinem14*3=14*3 sau 42=42, adică tot o egalitate.

8. Dacă avem  două  egalitaţi şi le împărţim membru cu membru şi împărţirea se poate face, obţinem tot o egalitate. Din 18=18 si 6=6, împărţind membru cu membru, obţinem 18:6=18:6 sau 3=3, adică tot o egalitate.

Observaţie: Proprietăţile egalităţilor rămân valabile şi în celelalte mulţimi de numere: întregi, raţionale, iraţionale, reale. Unele restricţii nu mai sunt necesare, altele se menţin.

Ca exerciţii puteţi încerca cele de mai sus şi pe alte exemple.


Cariera de elev: repetent sau corigent?

În ultimul timp am observat cu tristeţe că din ce în ce mai mulţi elevi vin la şcoală nepregatiţi. Nu-şi învaţă lecţiile, nu-şi fac temele, nu sunt disciplinaţi. Instrumentele de “constrângere” aflate la îndemâna unui profesor au scăzut îngrijorător. Nota la purtare nu-i mai interesează!

Corigenţa parcă nu-şi mai are rostul. Vin la corigenţa şi cu un efort “mai mic” decât minim, trece clasa pentru a reveni anul următor – la aceeaşi corigenţă – de parcă nu s-ar fi întâmplat nimic. Se fac în şcolile noastre o sumedenie de studii, acesta ar trebui să fie unul dintre ele: în ce măsură corigenţa reprezintă un punct „normal” în cariera unui elev.

Îndrăznesc să mă gândesc în acest sens la eliminarea corigenţei şi a repetenţiei. Pentru aceasta propun să notăm în mod real elevii, cu note, cu adevărat de la 1 la 10. În acest mod avem o situatie reală asupra modului cum învaţă în prezent copiii. De ce să le dăm nota cinci la corigenţă, pentru că el nu a învăţat cu adevărat niciodată?!

Va trece clasa cu medii de doi şi trei, va fi şi mai uşor la repartizare la liceu, pentru că nu poate ridica pretentii. Ar mai fi ceva. Între cel care învaţă permanent şi are nota 10 şi cel care nu învaţă sistematic şi are nota 5, distanţa este prea mică, şi nu reflectă deloc realitatea. Dacă cel ce nu învaţă ar avea media, ori medii de 2, am fi mai aproape de adevăr. Ar trebui luat în seamă că, în ultimul timp, la Evaluarea naţională, sunt destui elevi care au note sub 5 şi tot intra la liceu. Atunci de ce să nu notăm aşa cum am propus mai sus?

Nu propun acest lucru pentru a-i pedepsi pe cei care nu consideră că şcoala merită o investiţie de efort, ci pentru a le recunoaşte cu adevărat meritele acelor elevi pentru care şcoala reprezintă o treaptă în dezvoltarea lor.


Mate2000 (Editura Paralela 45) si concursul COMPER


 Update 7 mai 2011: Conform Regulamentului, la Etapa a II-a a Concursului Şcolar Naţional COMPER se pot înscrie şi elevi care nu au participat la prima etapă. De asemenea, organizatorul are rugămintea ca grilele de punctaj să fie printate de pe site-ul concursului, cu respectarea strictă a specificaţiilor. Data limită de înscriere pentru etapa a doua este 15 mai 2011, probele urmând a se desfăşura pe 18 mai, la Limba şi literatura română, şi 25 mai la Matematică. Elevii pot participa numai sub coordonarea unui cadru didactic.

Succes tuturor participanţilor!


 12 ianuarie 2011:
Mate2000. Editura Paralela 45 De azi într-o săptămână avem emoţii, căci se desfăşoară proba la matematică în cadrul concursurilor naţionale COMPER. Cum am ajuns noi să participăm? Simplu… de la începutul anului ne-am cumpărat, toată clasa, culegerea pentru matematică. Ca o paranteză, până să ajungem la şcoală, tot auzeam şcolarii vorbind de culegeri, şi mă cam îngrozea ideea. Când eram noi şcolari, culegerile erau ceva high-level, să ajungi să ai temă de-acolo era SF, doar la cercul de matematică se deschidea culegerea cu "Roboţel". Am ajuns la şcoală şi am constatat că acum nu mai e o sperietoare, e un fel de revistă cu jocuri adaptată programei. Ok, hai că e exagerat cu revistă, dar e amuzant să lucrezi pe ea. Nu mai simţi că dai piept cu uraganul, doar exersezi ceea ce ai învăţat, pentru o mai bună fixare a cunoştinţelor.

Cam asta facem noi de la începutul anului cu Mate2000. Ce mi-a plăcut a fost în primul rând ideea de a oferi copiilor, pe lângă culegere, şi o probă de concurs. Culegerea reprezită "biletul" de participare, căci la sfârşit este inserată fişa de concurs pentru fiecare elev. Şi, dacă punem la socoteală celelalte concursuri, la care plăteşti pentru participare cam aceeaşi sumă, dar nu primeşti nimic în plus, cred că alegerea nu e rea deloc. Există variante pentru toţi anii de studiu, primar şi gimnazial, pentru română şi matematică.

Aseară ne-am jucat un pic cu testele pentru proba de limba română, care se desfăşoară astăzi. Pe site îţi poţi face cont de elev, şi ai acces atât la testul de antrenament (poate nu era o idee era să fie mai multe…) cât şi la cele 5 variante pentru concurs, care se afişează cu o zi înainte. Personal nu îmi plac testele anunţate. Ok, anunţi modelul de subiect, dar subiectul efectiv… să nu mă întrebaţi ce părere am despre examenul de bac, când ştii dinainte ce poate fi scris pe bilete. Roboţei creăm, de roboţei avem parte…

Am avut şi ceva bătaie de cap cu testele, în primul rând pentru că noi nu am ajuns la litera "L". Cred că abia vineri îl vor învăţa. Apoi, nici structura unui text, cu ce este acela "titlu", nu am studiat, urmează. I-am explicat pe loc, şi a înţeles ce-i de făcut.

Am hotărât ca la proba de matematică să nu-i arăt subiectele înainte. Asta e, nu avem nimic de pierdut, şi nici de câştigat. Vreau să văd ce poate face cu un test la prima vedere. Vom avea apoi timp suficient să rezolvăm toate variantele propuse.

Îi ţinem pumnii doamnei învăţătoare, să aibă net, să meargă xeroxul, pentru că participarea este posibilă numai cu ajutorul dânsei. Ca elev independent, sau ca părinte, nu poţi participa. Ştiu că o diplomă de mentor nu va răsplăti efortul depus, aşa că sper ca satisfacţiile să vină din succesele copiilor. Multă baftă, clasa IB!

Legături utile: Culegerea Mate 2000, Concursurile COMPER , Regulamentul de participare.


Rezolvarea problemelor de matematica prin metoda reducerii la unitate

Prin această metodă se rezolvă multe probleme de matematică, în care datele depind unele de altele.
Pentru cei pasionaţi de matematică, aici se încadrează problemele în care apar mărimi direct proporţionale şi invers proportionale, care se rezolvă prin procedeul proporţiilor şi prin procedeul reducerii la unitate folosit în clasa a IV-a. Voi exemplifica prin rezolvarea câtorva probleme. Se numeşte metoda reducerii la unitate deoarece, întotdeauna, se află cât valoreaza unitatea.

Problema 1. O persoană cumpără 5 kg de mere şi plăteşte 15 lei. Dacă va cumpăra 7 kg de mere de aceeaşi calitate, cât va plăti?
Rezolvare. Dacă 5 kg de mere valoreaza 15 lei, atunci 1 kg va costa de 5 ori mai puţin,
adica 15 lei : 5 = 3 lei. 7 kg de mere vor costa de 7 ori mai mult, adică 3 lei x 7 = 21 lei.

Calculele se pot aseza astfel:
5 kg ………………………………..15 lei
1 kg…………………….15 lei : 5 = 3 lei
7 kg…………………….3 lei x 7 = 21 lei

Problema 2. Un bazin se umple prin 3 robinete în 15 ore. În cât timp vor umple acelaşi bazin 9 robinete care au acelasi debit?
Rezolvare. Dacă bazinul se umple folosind 3 robinete în 15 ore, un singur robinet o va face într-un timp de 3 ori mai mare, adică 15 ore x 3 = 45 ore. Cele 9 robinete vor umple bazinul într-un timp de 9 ori mai mic, adică 45 ore : 9 = 5 ore.

Calculele se pot aseza astfel:
3 robinete……………………………………………15 ore
1 robinet…………………………..15 ore x 3= 45 ore
 9 robinete………………………….45 ore : 9=   5 ore

Pentru cei ce cunosc operaţii cu fracţii, voi rezolva o problema la nivelul clasei a VI-a, tot prin metoda reducerii la unitate.

Problema 3. Pentru a ara 810 ha de teren arabil, 6 tractoare au lucrat 45 de zile. Dacă ar trebui să arăm 2100 ha şi dispunem de 10 tractoare, cât timp le va fi necesar? (Presupunem că tractoarele îndeplinesc aceeaşi normă).

Rezolvare. În acest caz, vom reduce, pe rând, la unitate, suprafaţa şi numărul de tractoare, apoi se revine, invers, la datele cerute. Dacă 810 ha au fost arate de 6 tractoare în 45 de zile, 1 ha va fi arat de 6 tractoare în 45 zile : 810.
Tot 1 ha va fi arat de 1 tractor într-un timp de 6 ori mai lung adică (45 zile : 810) x 6. 
Tot 1 ha va fi arat de 10 tractoare  mai repede, adică [(45 zile :810)x 6] : 10.
Pentru a ara 2100 ha va dura mai mult, adică {[( 45 zile : 810)x 6] :10}x 2100
şi după efectuarea calculelor obţinem 70 de zile. 

Calculele se pot aseza astfel:
810 ha…………….6 tractoare………………….45 zile
 1 ha………………6 tractoare…………………..45 zile:810
 1 ha………………1 tractor……………………..(45 zile:810)x 6
1 ha………………10 tractoare………………….[(45 zile:810)x 6]: 10
2100 ha………..10 tractoare……………..{[(45 zile:810)x 6]: 10}x 2100= 70 zile   

Vă propun spre rezolvare următoarele probleme:
1. O gospodină a cumpărat 13 kg de cartofi şi a plătit 26 de lei. Cât a plătit alta gospodină, dacă a cumparat 7 kg de cartofi de aceeaşi calitate?
2. O echipă de 50 de muncitori termină o lucrare în 30 de zile. În cât timp va termina aceeaşi lucrare o echipă de 15 muncitori? (Toţi muncitorii îndeplinesc aceeaşi normă).
3. Un fermier are 5 vaci, care timp de 30 de zile consuma 1800 kg de furaj. Cât furaj consumă 12 vaci în 18 zile, daca raţia (porţia) unei vaci pe zi rămane aceeaşi?

Postează într-un comentariu la acest articol rezolvarea, şi vei primi răspuns dacă este corectă.

 


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.


Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda falsei ipoteze

Problemele care se pot rezolva prin această metodă sunt de două tipuri. Cele de tipul unu necesită o singură ipoteză, iar cele tipul al doilea, două sau mai multe ipoteze succesive.

Metoda se numeşte a falsei ipoteze, deoarece se consideră că ipoteza nu corespunde cu adevărul.

Pentru exemplificare voi rezolva următoarea problemă:

Într-un bloc sunt apartamente cu două camere şi cu trei camere, în total 20 de apartamente şi 45 de camere. Câte apartamente au două camere şi câte au trei camere?

Rezolvarea I. Presupunem că în bloc sunt numai apartamente cu două camere şi atunci vor fi

20 x 2 camere = 40 camere.

Diferenţa de camere,

45-40= 5 camere

apare din faptul că sunt şi apartamente cu trei camere. Cele 5 camere le vom împarţi, adăugând câte una, 5:1= 5, la 5 apartamente, pentru că unele au 3 camere. Înseamnă că sunt 5 apartamente cu trei camere, iar cu două camere vor fi

20-5=15 apartamente.

Rezolvarea II. Presupunem că în bloc sunt numai apartamente cu trei camere şi atunci vor fi

20x 3 camere= 60 camere.

Diferenţa de camere,

60-45= 15 camere

apare din faptul că sunt şi apartamente cu două camere.Vom lua câte o cameră de la 15:1=15 apartamente.Vor fi 15 apartamente cu două camere, iar cu trei camere vor fi

20-15= 5 apartamente.

Rezolvaţi asemănător problemele:
1) Într-un bloc sunt apartamente cu 4 camere si cu 2 camere, în total 24 apartamente şi 68 de camere.Câte apartamente sunt de fiecare tip?
2) Într-o curte sunt găini şi iepuri, în total 33 de capete şi 106 picioare. Câte găini şi câţi iepuri sunt în curte?

Postează răspunsurile tale la acest articol şi vei afla dacă ai rezolvat corect.

Spor la lucru!


Important!
Nu posta probleme fără a menționa în ce clasă ești și neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au împotmolit la rezolvare.
Mesajele care conțin doar cerintele problemei vor fi mai mult ca sigur ignorate.


 

Rezolvarea problemelor de matematica prin metoda mersului invers

Această metodă de rezolvare a problemelor de matematică se aplică problemelor în care datele depind succesiv unele de altele. Enunţul problemei trebuie urmărit de la sfârşit către început.
În timpul rezolvării efectuăm operaţia inversă celei care apare în enunţ, ceea ce înseamnă că nu numai mersul este invers, ci şi operaţiile pe care le facem sunt inverse celor celor din enunţul problemei.
Proba se face aplicând numărului determinat operaţiile din enunţul problemei. Voi exemplifica prin rezolvarea următoarei probleme:

M-am gândit la un număr, l-am înmulţit cu 10, la rezultat am adunat 16, suma am împarţit-o la 6, iar din cât am scăzut 10, obţinând 56. Aflaţi numărul.

Rezolvare I.
Numărul din care am scăzut 10 este

56 + 10 = 66.

Numărul care împărţit la 6 dă 66 este

66×6= 396.

Numărul care adunat cu 16 dă 396 va fi

396 – 16 = 380.

Şi în sfârşit, numărul care înmulţit cu 10 dă 380 este

380 :10= 38.

Numărul căutat este 38.

Rezolvare II.

Redactarea rezolvării o puteam aranja şi astfel: notăm cu a numărul necunoscut şi obţinem:

( a x 10 + 16 ) : 6 – 10 = 56.

Calculele se ordonează astfel:

( a x 10 + 16 ) : 6 = 56 + 10
( a x 10 + 16 ) : 6 = 66
a x 10 + 16 = 66 x 6
a x 10 + 16 = 396
a x 10 = 396 – 16
a x 10 = 380
a = 380 : 10
a = 38

Proba sau verificarea rezultatului este următoarea: 38×10=380, apoi 380+16=396 şi 396:6= 66; în sfârşit, 66 -10 = 56, ceea ce corespunde enunţului.

Rezolvaţi, folosind aceeaşi metodă, problema:

Un număr se împarte la 7, din cât se scade 17, diferenţa se înmulţeşte cu 5, iar la produs se adună 15, obţinându-se astfel 20. Aflaţi numărul.


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.


Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda comparatiei

În cele ce urmează voi prezenta rezolvarea unei probleme prin metoda comparaţiei sau metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie. În aceste probleme apar două mărimi, care pot fi comparate în acelaşi mod şi sunt caracterizate de câte două valori.

Metoda constă în a aduce una dintre mărimi la aceeaşi valoare, având apoi de aflat o singură mărime. Aşezarea datelor problemei trebuie urmărită cu stricteţe. Voi prezenta rezolvarea unei probleme prin aceasta metodă.

Se dă următoarea problemă:

 4 metri de stofă şi 3 metri de postav costă 1250 de lei, iar 2 metri de stofă şi 6 metri de postav costă 1300 de lei.
Cât costă metrul de stofă şi cât costă metrul de postav?

Datele problemei le aşezăm astfel:

4 m stofă … 3 m postav … 1250 lei  (1)
2 m stofă … 6 m postav …. 1300 lei  (2)

Rezolvarea I

Dacă luăm cantităţi duble, adică înmulţim cu 2 cantităţile celui de al doilea rând (2), preţul se dublează, şi vom scrie:

4 m stofă … 3 m postav … 1250 lei
4 m stofă ….12 m postav …2600 lei

Cum cantitatea de stofă este aceeaşi, înseamnă că diferenţa de preţ apare datorită diferenţei cantităţilor de postav, aşadar:

 12m-3m= 9 (m de postav),
care costă
2600 -1250 =1350 (lei)
Un metru de postav va costa
1350 : 9 = 150 (lei)

Vom continua astfel:

 3 metri de postav costă 3×150 = 450 (lei)

atunci

 4 metri de stofă vor costa 1250 – 450 = 800 (lei.)
Un metru de stofă va costa 800 : 4 = 200 (lei)

Răspunsul este:

 1 m stofă costă 200 lei, iar 1 m postav 150 lei.

Rezolvarea II

Dacă vom lua cantităţi duble, adică înmulţim cu 2 cantitătile primului rând (1), preţul se dublează, vom scrie:

8 m stofă … 6 m postav ….2500 lei
2 m stofă … 6 m postav …1300 lei

 Cum cantitatea de postav este aceeaşi, înseamnă că diferenţa de preţ apare datorită diferenţei cantităţilor de stofă, deci

 8 – 2 = 6 (m de stofă),
care costă
2500 -1300 = 1200 (lei)
Un metru de stofă va costa
1200 : 6 = 200 (lei)

Vom continua astfel:

 4 metri de stofă costă 4 x 200 = 800 (lei)

atunci

 3 metri de postav costă 1250 -800 = 450 (lei)
Un metru de postav va costa 450 : 3= 150 (lei)

Am obţinut aceleaşi rezultate ca mai sus, răspunsul este:

 1 m stofă costă 200 lei, iar 1 m postav 150 lei.

Observaţie: Întâmplarea a făcut ca de fiecare dată să dublăm cantităţile. Le putem înmulţi cu 3, cu 4 sau împărți etc.

Vă propun spre rezolvare, în cele două moduri, următoarea problemă:
7 metri de postav şi 5 metri de stofă costă 2050 lei, iar 3 metri de postav şi 4 metri de stofă costă 1250 lei.
Să se afle cât costă metrul de stofă şi metrul de postav.

Spor la lucru!


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.