Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda comparatiei

În cele ce urmează voi prezenta rezolvarea unei probleme prin metoda comparaţiei sau metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie. În aceste probleme apar două mărimi, care pot fi comparate în acelaşi mod şi sunt caracterizate de câte două valori.

Metoda constă în a aduce una dintre mărimi la aceeaşi valoare, având apoi de aflat o singură mărime. Aşezarea datelor problemei trebuie urmărită cu stricteţe. Voi prezenta rezolvarea unei probleme prin aceasta metodă.

Se dă următoarea problemă:

4 metri de stofă şi 3 metri de postav costă 1250 de lei, iar 2 metri de stofă şi 6 metri de postav costă 1300 de lei.
Cât costă metrul de stofă şi cât costă metrul de postav?

Datele problemei le aşezăm astfel:

4 m stofă … 3 m postav … 1250 lei (1)
2 m stofă … 6 m postav …. 1300 lei (2)

Rezolvarea I

Dacă luăm cantităţi duble, adică înmulţim cu 2 cantităţile celui de al doilea rând (2), preţul se dublează, şi vom scrie:

4 m stofă … 3 m postav … 1250 lei
4 m stofă ….12 m postav …2600 lei

Cum cantitatea de stofă este aceeaşi, înseamnă că diferenţa de preţ apare datorită diferenţei cantităţilor de postav, aşadar:

12m-3m= 9 (m de postav),
care costă
2600 -1250 =1350 (lei)
Un metru de postav va costa
1350 : 9 = 150 (lei)

Vom continua astfel:

3 metri de postav costă 3×150 = 450 (lei)

atunci

4 metri de stofă vor costa 1250 – 450 = 800 (lei.)
Un metru de stofă va costa 800 : 4 = 200 (lei)

Răspunsul este:

1 m stofă costă 200 lei, iar 1 m postav 150 lei.

Rezolvarea II

Dacă vom lua cantităţi duble, adică înmulţim cu 2 cantitătile primului rând (1), preţul se dublează, vom scrie:

8 m stofă … 6 m postav ….2500 lei
2 m stofă … 6 m postav …1300 lei

Cum cantitatea de postav este aceeaşi, înseamnă că diferenţa de preţ apare datorită diferenţei cantităţilor de stofă, deci

8 – 2 = 6 (m de stofă),
care costă
2500 -1300 = 1200 (lei)
Un metru de stofă va costa
1200 : 6 = 200 (lei)

Vom continua astfel:

4 metri de stofă costă 4 x 200 = 800 (lei)

atunci

3 metri de postav costă 1250 -800 = 450 (lei)
Un metru de postav va costa 450 : 3= 150 (lei)

Am obţinut aceleaşi rezultate ca mai sus, răspunsul este:

1 m stofă costă 200 lei, iar 1 m postav 150 lei.

Observaţie: Întâmplarea a făcut ca de fiecare dată să dublăm cantităţile. Le putem înmulţi cu 3, cu 4 sau împărți etc.

Vă propun spre rezolvare, în cele două moduri, următoarea problemă:
7 metri de postav şi 5 metri de stofă costă 2050 lei, iar 3 metri de postav şi 4 metri de stofă costă 1250 lei.
Să se afle cât costă metrul de stofă şi metrul de postav.

Spor la lucru!

Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.

Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda figurativa

În săptămânile ce urmează voi prezenta, la nivel de clasa a IV-a, trei metode de rezolvare a problemelor de matematică: metoda figurativă (grafică), metoda comparaţiei şi metoda mersului invers.

Atunci când rezolvăm probleme de matematică trebuie să avem în vedere următoarele: întâi de toate, înţelegerea problemei şi exprimarea în limbaj matematic a relaţiilor dintre mărimile care apar în textul acesteia.

Mă refer la următoarele formulări, care dețin, de cele mai multe ori, cheia rezolvării unei probleme:

Expresia *cu atât mai mult* înseamnă o adunare;

Expresia *cu atât mai puţin* înseamnă o scădere;

Expresia *de atâtea ori mai mult* înseamnă o înmulţire;

Expresia *de atâtea ori mai puţin* înseamnă o împărţire.

Următoarele exprimări sunt folosite destul de des în culegerile matematice. Sunt însă de evitat, dat fiind faptul că un „număr” nu poate fi „mărit”, cel mult putem afla un alt număr care este „mai mare cu…” decât numărul ales. Însă ele apar, și e bine să le cunoașteți.

*măriţi cu 2 numărul X* X+2;
*micşoraţi cu 2 numărul X*, X-2;
*măriţi de 2 ori numărul A*, Ax2;
*micşoraţi de 2 ori numărul A*, A:2.

Atenţie mare așadar la exprimările ce apar în textul problemelor! Dacă întâlniți asemenea expresii, este util să notați deasupra lor semnul operației matematice pe care o indică, vor ușura rezolvarea.

De regulă, atunci când avem de rezolvat o problemă, încercăm mai întâi să o încadrăm într-un anumit tip, pentru care cunoaștem un algoritm de rezolvare.

Voi prezenta acum rezolvarea unei probleme prin metoda figurativă. Esenţial în rezolvarea problemelor cu această metodă este realizarea unui desen, o figură, care corespunde enunţului dat.

Problemă: Un număr este cu 3 mai mare decât altul. Să se afle numerele, ştiind că suma lor este 25.

Rezolvare(I)

Din enunţ ne dăm seama că:

nu cunoaştem 2 numere;
unul dintre ele este cu 3 mai mare;
suma celor 2 numere este 25.

Realizăm următorul desen:

Observăm că, dacă am elimina din suma numerelor 3, adică am lua din numărul mai mare 3 unităţi, cele două segmente desenate devin egale. Scopul acestei metode de rezolvare este acela de a obține pe desen un număr de părți egale, care să ne ajute apoi la identificarea necunoscutelor.

Vom scrie:

25-3=22, unde 22 reprezintă suma celor două numere, dacă al doilea ar fi egal cu primul.

Câte părți egale am obținut în desen, după ce am eliminat 3?

1+1 = 2 (părți egale)

Dacă suma a două părți egale este 22, putem afla cât reprezintă o parte egală, împărțind suma la numărul de părți egale identificate.

22: 2=11 (reprezintă o parte egală, în problema noastră aceasta reprezentând numărul mai mic.

Am aflat în acest mod numărul mai mic, celălalt poate fi aflat în două moduri. Ori adunăm unitățile îndepărtate inițial:

11+ 3= 14,

Sau scădem din sumă numărul pe care l-am aflat:

25-11=14.

În concluzie numerele sunt 11 şi 14, ceea ce se verifică uşor (11+14=25). Nu uitaţi, după ce aţi rezolvat o problemă, verificaţi întotdeauna rezultatul obţinut!

Rezolvare(II)

Se poate realiza şi următorul desen:

Observăm că, dacă am adăuga la numărul mai mic 3 unităţi, suma ar creşte cu 3 şi numerele devin egale. Obținem așadar două părți egale.
Vom scrie

25+ 3=28, unde 28 este suma numerelor, dacă primul ar fi egal cu al doilea.

Câte părți egale am obținut în desen, după ce am adăugat 3?

1+1 = 2 (părți egale)

Dacă suma a două părți egale este 28, putem afla cât reprezintă o parte egală, împărțind suma la numărul de părți egale identificate.

apoi

28: 2=14.

Am aflat în acest mod numărul mai mare. Celălalt poate fi aflat tot în două moduri. Ori eliminăm unitățile îndepărtate inițial:

14-3=11,

Sau scădem din suma inițială numărul pe care l-am aflat:

25-11=14

Deci, numerele sunt 11 şi 14, rezultate obţinute şi prin prima variantă de rezolvare.

În final aş atrage atenţia că nu este de ajuns să ştiu în ce constă metoda figurativă şi să rezolv o problemă, două… Fiecare problemă aduce un element de noutate şi trebuie să ne punem în cât mai multe situaţii, adică să rezolvăm cât mai multe, pentru a nu fi luaţi prin surprindere!

Temă:

1. Un număr este cu 10 mai mare decât altul. Aflaţi cele două numere, dacă suma lor este 40.

2. Un număr este de 3 ori mai mare decât altul. Aflaţi numerele, dacă suma lor este 40.

Important!
Nu posta probleme fără a menționa în ce clasă ești și neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au împotmolit la rezolvare.
Mesajele care conțin doar cerințele problemei vor fi (probabil) ignorate.

Ordinea efectuarii operatiilor

Până la clasa a IV-a elevii învaţă adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea numerelor naturale. Aceste operaţii le clasificăm astfel:

operaţii de ordinul întâi: adunarea şi scăderea;
operaţii de ordinul doi: înmulţirea si împarţirea.

Atunci când apar în exerciţii ele se efectuează astfel:

1. dacă în exerciţiu apar operaţii de acelaşi ordin (numai adunări şi/sau scăderi, sau numai înmulţiri şi/sau împărţiri), le efectuăm în ordinea în care sunt scrise, ca în exemplele următoare.

Exemplul 1. 9 + 4 – 5 = 13 – 5 = 8.
Am efectuat 9 + 4 = 13 apoi 13 – 5 = 8.

Exemplul 2. 3 x 6 : 9 = 18 : 9 = 2 .
Am efectuat 3 x 6 = 18 apoi 18 : 9 = 2.

2. daca în exerciţiu apar mai multe tipuri de operaţii, atunci efectuăm mai întâi pe cele de ordin doi, în ordinea în care apar, (înmulţirea şi împărţirea), apoi pe cele de ordinul întăi (adunarea şi scăderea), ca în exemplele următoare.

Exemplul 3. 7 – 7 : 7 = 7 – 1 = 6.
Am efectuat mai întâi 7 : 7 = 1, apoi 7 – 1 = 6 .

Exemplul 4. 8 + 8 x 8 = 8 + 64 = 72.
Am efectuat 8 x 8 = 64, apoi 8 + 64 = 72.

Exemplul 5. 7 x 6 – 3 x 10 + 18 : 9 = 42 – 30 + 2 = 12 + 2 = 14.
Am efectuat 7 x 6 = 42, 3 x 10 = 30, 18 : 9 = 2, apoi 42 – 30 = 12 şi în sfârşit 12 + 2 = 14.

Am ales special numere mici pentru uşurinţa redactării. Este util pentru copiii mai mici, mai ales până se obișnuiesc, să noteze deasupra semnului operației ordinea în care vor efectua.

În cazul în care nu respectăm ordinea efectuării operaţiilor, iată ce ar putea ieşi…

La exemplul 3, de pilda 7 – 7 : 7 = 0 : 7 = 0, am facut scăderea şi apoi împărţirea, ceea ce este greşit.
Sau la exemplul 4, 8 + 8 x 8 = 16 x 8 = 128, am făcut adunarea şi apoi înmulţirea, ceea ce este greşit!

Temă pentru acasă:

8 – 8 : 8 =
9 + 9 : 9 =
10 : 10 – 1 =
12 x 12 – 144 =
12 x 24 + 720 : 9 – 340 : 10 =

Spor la lucru şi atenţie maximă!

Azi, la matematica: Folosirea parantezelor in exercitii

În exercitiile de matematică se folosesc trei tipuri de paranteze. Acestea sunt: accolade { }, drepte [ ] şi rotunde ( ), şi apar întotdeauna în pereche.
Rezolvarea unui exerciţiu în care apar cele trei tipuri de paranteze se face în felul următor:

Efectuăm mai întâi operaţiile din parantezele rotunde, apoi scriem din nou exerciţiul şi transformăm parantezele acolade în paranteze drepte, iar parantezele drepte în paranteze rotunde, punând în locul parantezelor rotunde rezultatul obţinut.
Continuăm tot cu efectuarea operaţiilor din parantezele rotunde – ( ) -, scriem din nou exerciţiul, transformând parantezele drepte – [ ] – în paranteze rotunde – ( ) -, având grijă să înlocuim rezultatul obţinut anterior.
Am ajuns la ultimele operaţii din parantezele rotunde, pe care le vom efectua.

Trebuie precizat că atunci când efectuăm operaţiile din parantezele rotunde ţinem cont de ordinea efectuării operaţiilor: întâi operaţiile de ordinul II (înmulţirea şi împărţirea), apoi cele de ordinul I (adunarea şi scăderea).

Voi exemplifica acest lucru prin rezolvarea unui exerciţiu. Iată-l:

{ 12 + 3 x [ 20-2 x (7 – 10 : 5 ) ] +13 } x 10 = 550

Luăm operaţiile din parantezele rotunde, 7 – 10 : 5 = 7 – 2 = 5 (am făcut mai întâi împărţirea, 10 : 5 = 2 şi apoi scăderea, 7 – 2 = 5 ).
Scriem din nou exerciţiul, înlocuim rezultul obţinut, transformăm corespunzător parantezele şi obtinem:

[ 12 + 3 x (20 -2 x 5 ) + 13 ] x 10 = 550

Repetăm paşii, ca mai sus, şi obţinem:
20 – 2 x 5 = 20 – 10 = 10 (am făcut înmulţirea, 2 x 5 = 10, şi apoi scăderea, 20 – 10 = 10 ).

Reluăm înlocuirea şi transformarea parantezelor şi obţinem:

( 12 + 3 x 10 + 13 ) x 10 = 550

Rezolvăm operaţiile dintre paranteze, ţinând cont de ordinea efectuării operaţiilor, 12 + 3 x 10 + 13 = 12 + 30 + 13 = 42 + 13 = 55 (am făcut înmulţirea 3 x 10 = 30, apoi adunarea 12+30=42, şi în sfârşit 42 + 13 = 35).
În final obţinem

55 x 10 = 550

Vom pune peste tot după semnul egal rezultatul obţinut, 550.

Rezolvarea se putea aranja şi în felul următor:

{ 12 + 3 x [ 20 – 2 x ( 7 – 10 : 5 ) ] + 13 } x 10 =
= { 12 + 3 x [20 – 2 x (7 – 2) ] + 13 } x 10 =
= [12 + 3 x (20 – 2 x 5) + 13 ] x 10 =
= [12 + 3 x (20 – 10) + 13] x 10 =
= (12 +3 x 10 + 13) x 10 =
= (12 + 30 + 13) x 10 = (42 + 13) x 10 =
= 55 x 10 = 550

Eu consider că primul mod prezentat este mai uşor, mai accesibil pentru un elev, al doilea necesitând mult mai multă atenţie. Dar fiecare elev îşi va alege modul de rezolvare pe care l-a înţeles mai bine.

Temă pentru acasă (rezultatul obţinut îl puteţi posta ca răspuns la acest articol)

(60 + 2 x 40) x (8 – 9 : 3 ) =
[50 + 60 x (7 – 3 x 2 )] : 10 =
2 x {42 – [12 + (8 + 2×5 )]} =

Vă mulţumesc!

De la lume adunate si iarasi la lume… date (II)

Un melc trebuie să ajungă în vârful unui stâlp înalt de 10m. Ziua urcă 3 m, iar noaptea coboară 2m.
În a câta zi va ajunge în vârful stâlpului?

a VII a zi
a VIII a zi
a IX a zi
a X a zi

Pe un gard sunt 100 de grauri sănătoşi tun şi rotofei.Un vânător, cu un foc de armă, doboară 13 dintre ei. Câţi grauri mai rămân pe gard?

Un copil a vrut sa mănânce şi el mere. A sărit cele trei garduri ale unei livezi şi şi-a umplut sânul cu mere. La ieşire nu a mai putut să sară gardurile şi a fost nevoit să treacă pe la cele trei porţi unde îl aşteptau trei paznici. Fiecare dintre cei trei paznici i-a luat jumătate din mere plus unul. Câte mere a avut copilul în sân, dacă după ultima poartă i-a mai rămas un singur măr?

20 mere
21 mere
22 mere
23 mere
34 mere

Răspunde printr-un comentariu la acest subiect şi vei afla printr-un mail dacă ai răspuns sau nu corect.

O părere despre cum să se învețe tabla înmulțirii

De-a lungul anilor, ca profesor de matematică, am constatat că foarte mulți elevi nu se descurcă cu tabla înmulțirii şi nici cu tabla împărțirii (voi reveni ulterior la aceasta, într-un alt articol). În ceea ce privește tabla înmulțirii, aproape toți copii înțeleg faptul că aceasta este o adunare repetată, adică

3 x 4=4 + 4 + 4 = 12
sau
4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Multi însă nu-şi dau seama că aceasta este numai o justificare a înmulţirii şi că nu poți folosi procedeul în rezolvarea exercițiilor. Ar fi un adevarat chin să faci astfel înmulțirea a două numere mai mari! De exemplu:

14 x 234 = 234 + 234 + 234 + … + 234, adunându-l repetat de 14 ori pe 234.

Se reţine şi modul de aşezare atunci când facem o înmulţire de către toţi elevii. Problema care se pune este că greşesc la înmulţirea până la 100. De aceea, pentru reținerea acesteia este bine ca elevii să ştie să numere foarte bine din 2 în 2, din 3 în 3, …, din 10 în 10, atât înainte cât şi înapoi! Mulţi părinţi îi pot ajuta în acest sens. Repetiţia e mama învăţăturii şi, având în vedere acest dicton, îi punem să repete, citind-o până o reţin foarte bine… în ordine.

Următorul pas, destul de delicat, trebuie să fie făcut de părinţi, de fraţi mai mari: să-i întrebe tabla înmulţirii pe sărite. Să fie întrebaţi toate cele 100 de situaţii! Să insiste pe 6 x 9 si 7 x 8, care provoacă cele mai mari dificultăți în a le reține, se pare pentru că nu … rimează!

Dacă un elev știe cât face 6 x 9 şi 7 x 8, sau invers, 9 x 6 şi 8 x 7, putem fi aproape siguri că știe tabla înmulțirii.

Pasul următor se realizează sub supraveghere: cât mai multe exerciţii de înmulţire, după modelul: 1234 x 5; 1234 x 6 etc. Dacă părinţii nu au timpul necesar pentru aceasta, dar dispun de un calculator, apelaţi la programe cu ajutorul cărora pot învăţa tabla înmulţirii.

Succes!

Dani

De la lume adunate si iarasi… la lume date!(Probleme de vacanta)

1) Mama mamii, soacra tatii şi bunica mea câţi ochi or avea?
a) 6 b) 2 c) 4 d) 0

2) Pe o bancă în parc, stau de vorbă două mame şi două fiice! Câte persoane sunt?
a) 4 b) 3 c) 2 d) 0

3) Ce este Ion cu Ana dacă mama lui Ion este soacra mamei Anei?
a) tată şi fiică b) soţ şi soţie
c) bunic şi nepoată d) nicio legătură

Stiati ca…

Sau mai corect spus, vă mai aduceţi aminte că…

…zero este cel mai mic număr natural?
…în şirul numerelor naturale nu există un ultim număr natural(oricând putem adăuga un număr mai mare cu o unitate)?
…între două numere naturale consecutive nu există alt număr natural?
…cifrele arabe, cu care scriem numerele naturale, sunt de fapt…indiene?
…sistemul de numeraţie zecimal are ca cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
…sistemul de numeraţie binar are ca cifre 0 si 1?
…un calculator (pc, minicalculator) face calcule în sistemul binar?
…desemnarea lui 10 ca bază de numeraţie are legătură cu numărul degetelor?
…în măsurarea timpului se foloseste un sistem de numeraţie cu baza 60 (sexazecimal, 1 oră=60 minute,1 minut=60 secunde)?
…introducerea cifrei zero reprezintă una din marile descoperiri ale indienilor(800 i.H.)?
…că romanii foloseau şapte semne pentru a scrie numerele naturale:
I=1,V=5,X=10,L=50,C=100,D=500,M=1000?
…aşa arată un număr scris cu cifre romane: II=2;III=3;IV=4;VI=6;VII=7;VIII=8;IX=9,XI=11;XII=12;MDCLXVI=1666; etc.?

Voi reveni, Dani.

Matematica la sfarsitul clasei a patra…

Am observat de a lungul anilor că elevii care ajung în clasa a V-a şi nu citesc cursiv, sau nu cunosc tablele de operaţii decât parţial, au probleme foarte mari în asimilarea cunoştinţelor şi de cele mai multe ori îngroaşă rândul elevilor rămasi în urmă la învăţătură. Ar trebui ca părinţii să le ceară acasă să citească şi să socotească ori de câte ori au puţin timp liber.

În ceea ce priveşte matematica, părinţii îi pot cere copilului să numere din 2 in 2, din 3 in 3, din 4 in 4 ş.a.m.d. Chiar dacă vom încerca – şi asta se face la şcoală – să învăţăm tabla înmulţirii şi a împărţirii ca operaţii de adunare şi scădere repetată, este foarte greu pentru copii să o reţină în acest mod şi să facem şi performanţă. Este de ajuns să ştie că este aşa.

Când avem de făcut o înmulţire sau împărţire nu stăm să facem adunări repetate sau scăderi repetate. Închipuiţi-vă că au un exerciţiu cu paranteze, cu înmulţiri şi împărţiri, pe care trebuie să le facă cu adunări si scăderi repetate. Câtă muncă…

Prin exerciţii şi prin întrebări repetate vom putea să-i ajutăm pe copii să le înveţe. Dacă dispuneţi de un calculator puteţi căuta programe de învaţare a matematicii Există astfel softuri educaţionale şi sunt foarte utile. Elevul învaţă jucându-se, iar ora de joacă la calculator se poate transforma dintr-o pierdere de timp cu un joc inutil într-una de învăţare. Copilul poate să repete ori de câte ori doreşte toate tablele de operaţii. În acest fel îi putem satisface şi plăcerea de a se juca pe calculator, dar într-un mod util.

Să-i punem la dispoziţie şi o culegere clasică de probleme. Se găsesc în toate librăriile şi puteţi cere oricând sfatul învăţătorului sau profesorului privind lucrarea ce se recomandă copilului dumneavoastră, potrivit nivelului său de acumulare a cunoştinţelor.

De asemenea ar trebui să-i antrenăm în cât mai multe concursuri, să menţinem un nivel mediu al antrenamentului, fără să epuizăm copilul, dar fără să-i permitem să uite.

Vacanţa mare bate la uşă, şi pentru copii ea înseamnă joacă. Dar, tot în joacă, putem strecura un exerciţiu pe zi. Trei luni înseamnă mult, iar copiii uită repede.

Matematica poate fi… o placere? Cu siguranta ca… DA!

Pentru a răspunde la întrebare si a justifica răspunsul, voi încerca să-i fac pe cei care se luptă cu Matematica, încă de pe măsuţele din Grădiniţă, până la sfârşitul Liceului şi mai… departe, că trebuie să te “ţii” de ea, că dacă nu, se lasă ea de… tine.

Trebuie înţeles de la început ca Matematica este ca un lanţ nesfârşit. Dacă o singură verigă din acesta este subredă, eşti pierdut! Pentru cei care învată la Matematică, aceasta s-ar traduce prin faptul că trebuie să o facă în mod continuu, permanent şi fără să neglijeze vreo lecţie. Speculanţii nu au ce căuta pe domeniul Matematicii.

Cum să învăţăm la Matematică? Nu stiu daca există reţete… Trebuie însa să o facem sistematic. Învăţăm fiecare noţiune în parte şi vom căuta prin exerciţii, foarte multe exerciţii, să fixăm cât mai bine ceea ce am învăţat. La Matematică, repetiţia este mama învăţăturii. Trebuie să crezi şi să accepţi acest lucru. Cu cât vom învăţa mai mult cu atât vom constata că ştim foarte puţin. Numai cel care o face din pasiune, multă pasiune, va putea spune odată că este o… plăcere să lucrezi la Matematică.

Aş recomanda acum o carte. Ea se numeste Şocul Matematicii şi este scrisă de matematicianul Solomon Marcus. Nu cred că ar putea cineva să pledeze pentru învăţarea matematicii mai bine decât a făcut-o domnul Solomon Marcus în această minunată carte. Am să-l citez apriximativ din memorie:

Matematicienii ar trebui priviţi ca si poeţii… lumea ar trebui să fie mândră că-i are… dar ce păcat că nu se întâmplă acest lucru.

Până data viitoare, la revedere!

Talente de Năzdrăvani

Category Archives: Matematică