Operații cu puteri. Compararea puterilor

Compararea puterilor care nu au nici aceeași bază și nici același exponent reprezintă o încercare deosebită pentru rezolvitori, mai ales dacă aceștia sunt abia la începutul claselor gimnaziale, iar operațiile cu puteri sunt pentru ei o noutate absolută.

Acestea se pot însă duce la capăt prin diverse artificii de calcul, ceea ce înseamnă că ne vom folosi de operațiile învățate și de proprietățile lor pentru a obține în final o formă a exercițiului utilă în formularea răspunsului. Aceasta înseamnă că deprinderile de calcul și cunoașterea proprietăților operațiilor învățate trebuie stăpânite foarte bine, achiziții cu care elevul trebuie să vină din ciclul primar.

Așadar, pentru a compara două puteri care nu au nici aceeași bază și nici același exponent, ne vom strădui ca prin aceste artificii, folosind și proprietățile abia învățate ale puterilor, să le aducem la o formă asemănătoare. Cele două variante posibile sunt:

să aibă aceeași bază, ceea ce se poate, la exerciții mai simple, dacă bazele sunt puteri ale aceluiași număr.

Exemplu: Comparați puterile 2⁸ și 4⁷.

Putem scrie 2⁸=2^2·4 = (2²)⁴ = 4⁴ ; 4⁴ < 4⁷

Sau putem scrie 4⁷=(2²)⁷ = 2¹⁴; observăm că au aceeași bază, 8 < 14, înseamnă că 2⁸<2¹⁴, și, implicit, 2⁸<4⁷

să aibă același exponent.

Exemplul 1: Comparați puterile 2³⁶ și 3²⁴.

Observăm că nu au nici aceeași bază, nici aceiași exponenți. Pentru a realiza ceva asemănător, ne concentrăm atenția către exponenți. Putem scrie ca produs 36=3·12, iar 24=2·12 (Din păcate, la clasa a cincea capitolul despre divizibilitate urmează, de regulă, după cel dedicat operațiilor cu puteri, și copiilor le este dificil să descompună astfel numele, căci aceste deprinderi de lucru nu intră în programa ciclului primar. Pentru cei care știu divizibilitate, se caută cel mai mare divizor comun – cmmdc – al exponenților.)

2³⁶=2^(3·12) =(2³)¹²=8¹² (1)

La fel procedăm și în cazul următoarei puteri:

3²⁴ = 3^(2·12) = (3²)¹²=9¹² (2)

Din expresiile (1) și (2) putem trage următoarea concluzie: deoarece 8<9 => 8¹²< 9¹² , ceea ce înseamnă și că 2³⁶ < 3²⁴.

Exemplul 2: Comparați 4³³ și 3⁴⁴.

Observăm că 33 = 3·11, iar 44 = 4·11 (sau cmmdc=11).

4³³=4^(3·11) = (4³)¹¹ =64¹¹ (1)

3⁴⁴=3^(4·11)=(3⁴)¹¹=81¹¹ (2)

Din expresiile (1) și (2) putem concluziona că, deoarece 64<81, atunci și 64¹¹< 81¹¹, ceea ce înseamnă că 4³³ < 3⁴⁴.

Pentru a dobândi însă deprinderi și abilități de lucru cu puteri este însă necesar un exercițiu îndelungat, rezolvarea a multe exemple astfel încât să se formeze „ochiul“, adică să deprindă algoritmii posibili pentru a duce la bun sfârșit o astfel de provocare. Operațiile cu puteri vin însă pe fondul unei adaptări dificile a copilului de 10-11 ani la orarul de gimnaziu, cu solicitări masive de modelare a comportamentului pe cerințele complet diferite ale fiecărui profesor. De la abordarea prin joacă a tuturor noțiunilor aritmetice în clasele primare, face acum un salt uriaș la lucrul cu șiruri lungi de cifre, întinse pe caiete studențești.

Recomandăm utilizarea la clasă a exemplelor simple, pentru a încuraja copii, și mai puțin direct a celor de nivel olimpic, care nu fac decât să crească nivelul de frustrare și să-i determine să abandoneze cursa matematicii chiar înainte să vadă cât de spectaculoasă este aceasta.