Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor si sistemelor de ecuatii

Aş vrea să prezint în cele ce urmează cum trebuie să procedăm atunci când rezolvăm probleme cu ajutorul ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii. Orice problemă de matematică am avea de rezolvat, ea trebuie mai întâi înţeleasă, trebuie să găsim legaturile ce există între mărimile date în textul ei şi apoi să-l transpunem în limbaj matematic.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor sau sistemelor de ecuaţii se face parcurgând câteva etape obligatorii, fără a fi necesar să le precizăm de fiecare dată în scris, în redactarea rezolvării.

Paşii necesari:

  1. găsirea necunoscutei (necunoscutelor) din problemă;
  2. scrierea modelului matematic (a ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii);
  3. rezolvarea ecuaţiei sau sistemului de ecuaţii;
  4. verificarea şi interpretarea rezultatului găsit. De ce şi interpretarea rezultatului? Pentru că ne putem da seama de eventualele greşeli de calcul pe care le-am făcut! 

Precizez că şi aici trebuie să cunoaştem foarte bine semnificaţia cuvintelor cheie:

  • cu atât mai mult – adunare;
  • cu atât mai puţin – scădere;
  • de atâtea ori mai mult – înmulţire;
  • de atătea ori mai puţin – împărţire;
  • numărul x mărit cu 2 se scrie x+2;
  • numărul x micşorat cu 2 se scrie x-2;
  • numărul x mărit de 2 ori se scrie 2x;
  • numărul x micşorat de doua ori se scrie x:2, etc.

Voi rezolva ca model câte o problemă din fiecare.

1. Un număr este cu 2 mai mare decât altul. Aflaţi numerele dacă suma lor este 24.

Fie x numărul mai mic; celălalt este x+2.

Obţinem ecuatia: x+x+2=24
2x+2=24
2x=24-2
2x=22
x=22:2
x=11(I)
11+2=13(II)

Verificare:11+13=24

2.Suma a două numere este 24, iar diferenţa lor este 4. Aflaţi numerele.

Fie x şi y numerele necunoscute.
Obţinem sistemul x+y=24 & x-y=4.
Adunăm membru cu membru şi obţinem 2x=28 & x+y=24
x=28:2 & x+y=24, de unde
x=14 & 14+y=24 sau
x=14 & y=24-14 sau
x=14 & y=10

Verificare 14+10 =24 & 14-10=4.

Culegerile de probleme existente pe piaţa  conţin multe astfel de probleme. Cu cât rezolvăm mai multe  probleme cu atât ne vom descurca mai bine ca rezolvitori!

 


Posted in Matematică, Ora de Ştiinţe and tagged , , , .

251 Comments

  1. problema de clasa a 4 a
    un vanator primeste 361 de flori printre care: trandafiri, frezii care sunt de 3 ori mai multe decat jumatate din numarul trandafirilor, numarul lalelelor este egal cu cel al garoafelor iar suma lor este mai mare decat nr trandafirilor si mai mica decat nr freziilor. cate fire din fiecare floare a primit.

    • Draga Andra,
      Problema contine o inegalitate, iar la clasa a IV a, nu cred sa te descurci! E mai pretentioasa! De unde ai luat-o? Cu bine.

  2. Trei piese cantaresc impreuna 1340 kg. prima piesa are cu 260 kg mai mult decata doua iar a treia cu 18 kg mai mlt decat a doua cat cantareste fiecare piesa?

    • Draga Adina,
      Ce clasa esti? Eu cui explic rezolvarea?
      /—-/ a doua piesa
      /—-/+260 prima piesa
      /—-/+18 a treia piesa. Ele cantaresc 1340 kg; scadem 260+18 si obtinem trei parti egale; afli o parte si apoi pe celelalte. Cu bine.

  3. Cate bomboane sunt intr-o cutie si cati elevi sunt intr-o clasa,stiind ca, daca se dau cate 5 bomboane la fiecare elev raman 10 bomboane si daca fiecare elev primeste cate 6 bomboane, ar mai trebui 18 bomboane ?

    • Draga Andreea,
      Ce clasa esti? Fie x numarul elevilor si y numarul bomboanelor.y=5x+10(1) si y=6x-18(2); scadem 1 din 2 membru cu membru si obtinem 6x-18-5x-10=0; rezolvi ecuatia, gasesti numarul elevilor si apoi numarul bomboanelor. Cu bine.

  4. Suma a trei numere naturale e 100.Daca impartim primul numar la al doilea obtinem catul 5 si restul 1.Daca impartim numarul al treile la primul,obtinem acelasi rezultat.Aflati numerele.

    • Draga Rares,
      a+b+c=100(1); a:b=5 rest 1, inseamna a=5b+1(2); c:a=5 rest 1, inseamna c=5a+1(3); inlocuiesti 2 in 3 si apoi a si c in 1 si obtii pe b, apoi afli a si c. Cu bine.

  5. Mama este cu 24 ani mai mare ca fiica Ce virsta are fiecare daca peste 6 ani virsta mamei va fi mai mare de 3 ori decit a fiicei.Rezolvati problema prin ecuatii please rpd

    • Draga Valeras,
      Fie x varsta fiicei; mama are x+24; peste 6 ani vor avea x+6 si x+24+6 sau x+30. Obtinem ecuatia x+30=3(x+6)

  6. Daca intr-o curte ar mai fi inca 5 miei si 6gaini ,atunci ar fi in total 25 de capete si 76 de picioare. Aflati cati miei si cate gaini sunt.
    (Clasa a 8a)

    • În curte sunt x miei și y găini, adică x+y=a (capete) și 4x+2y=b (picioare)

      Dacă în curte ar mai fi încă 5 miei si 6 gaini…. adica x+5 și y+6, atunci x+5 + y+6 = 25 și 4(x+5) + 2(y+6) = 76.
      Acum ai două ecuații, cu două necunoscute, și ar trebui să te descurci cu rezolvarea.

    • Ce bine ar fi dacă ai transcrie problema folosind și semnele de punctuație, să înțelegem corect cerința! Păcat că lenea e atât de mare… probabil și de aceea e atât de „dificilă” problema!

      Fie a și b cele două numere căutate.
      Suma este 130 – se scrie a+b=130.

      Primul număr mărit de 10 ori – înseamnă înmulțire, și se scrie a*10
      este de trei ori mai mare – înseamna iar înmultire (x)
      decât – aflăm imediat cu cine înmulțim (xx)
      al doilea micșorat cu 20 – înseamnă scădere, și se scrie b-20 (xxx)

      Din cele trei propoziții, notate (x), (xx) și (xxx), putem scrie că 3*(a*10)=b-20
      Acum ai două ecuații cu două necunoscute. Cum nu ai specificat ce clasă ești, nici eu nu pot să-ți indic un mod de rezolvare pe care să-l înțelegi. Poate ți-a fost totuși de ajutor explicația.

  7. Daca la dublul unui nr adunam 18 obtinem acelasi rezultat ca atunci cand triplam suma intre nr dat si 5.aflati nr 2×x+18=3 (x+5) dar nu e corecta!!! Cum se poate face??merci

    • 2x + 18 = 3 (x + 5)
      2x + 18 = 3x + 15 | -2x
      18 = x + 15 | -15
      3 = x

      Se poate. Ce clasă ești?

    • Atunci poți rezolva direct ca ecuație, nu cred că ai nevoie de proprietățile egalilor. Nu cunosc programa de gimnaziu.
      Mai multă atenție la calcule.

    • a +2b=11
      a=11 – 2b
      Inlocuim in a doua relatie

      2(11-2b)+b=10
      22 – 4b+b = 10
      22-3b=10 |-10
      12-3b=0 |+3b
      12=3b |:3
      4=b
      si acum il afli si pe a.

  8. problema clasa a saptea Gigel cheltuie o suma de bani astfel:prima data 2 supra noua din suma initiala plus 7 lei, a doua oara 3 pe 7 din rest plus 4 lei,ramanandu-i 3,92 lei.care a fost sum ainitiala? ma poti ajuta te rog? 🙁

    • Draga Alexandra,
      Fie x suma initiala. Cat a cheltuit prima data?2/9 din x+7=2/9.x+7; Cat este restul? x-(2/9x+7)=9/9x-2/9x-7=7/9x-7; Cat a cheltuit a doua oara? 3/7 din (7/9x-7 )+4=3/7.(7/9x-7)+4=3/7.7/9x-3/7.7 +4=1/3x-3+4=1/3x+1; obtinem ecuatia 2/9x+7 +1/3x+1 +3,92=x sau 2/9x+1/3x+11,92=x sau x-2/9x–1/3x=11,92; de aici te las pe tine sa o rezolvi; vei obtine 26,82 . Cu bine.

    • Draga Silvia,
      Introduci pe a din a doua relatie in prima si obtii 5b+12+b=132 sau 6b=132-12 sau 6b=120 sau b=120:6 Cu bine.

    • |____|
      |____|____||____||____||____|

      Metoda figurativa. Vezi cate parti egale reprezinta diferenta lor si continua rezolvarea!

    • Îmi pare rău, nu răspund la întrebări neserioase.
      La următoarea încercare accesul pe acest site îți va fi blocat.

  9. Produsul dintre doua numere este 8. Stiind ca primul numar este de 2 ori mai mare decat al doilea sa se afle numerele. Este o problema pt clasa a doua.

    • Draga Amalia,
      /—–/ numarul mai mic
      /—–/—–/ numarul de doua ori mai mare. Avem trei parti egale, numarul care inmultit cu el insusi de trei ori sa dea 8 este 2; al doilea numar este de 2 ori mai mare deci 4.Cu bine.

    • Draga Lucica,
      Nu mi ai spus ce clasa esti! Fie 4x numarul mai mare,iar cel mic este 4x:4=x, de 4 ori mai mic. Suma lor este 4x+x=2,45 sau 5x=2,45. De aici te las pe tine sa afli numerele. Cu bine.

    • La clasa a III-a ar trebui să rezolvi cu metoda figurativă, nu cu ecuații.

      |___| a (a este un sfert din b, adică a patra parte)
      |___|___|___|___| b
      |___|___|___|___|___| c (a+b, adică cinci părți)

      a+b+c = 1000
      câte părți egale avem dacă le însumăm?

      de aici poți continua rezolvarea.

    • Draga Corina,
      Aduni ecuatiile membru cu membru su obtii 2y=14; impartim cu 2 si obtinem y=7. Inlocuim in prima x-7=-5, de unde adunant 7 obtinem x=2. Cu bine.

    • Dacă tot vrei ajutor, poți căpăta și pentru scrierea corectă cu cratimă!
      ajuta-ți-mă => ajutați-mă => mă ajutați

  10. Din suma economisita,un elev a cheltuit în prima zi 1/25;A doua zi a cheltuit 1/3 din suma rămasă,a treia zi a cheltuit1/4din noul rest,rămânându-i pentru a-4-a zi suma de 18 lei.Ce suma a avut inițial și cât a cheltuit in fiecare zi ?

    • |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_| – suma totală, din care el cheltuie doar prima parte.
      |_|___________|___________|___________| – suma ramasa se imparte in 3, sin care cheltuie tot o treime
      |_|___________|______|_____|_____|_____| – suma ramasa se imparte in 4, din care cheltuie 1/4
      |_|_____________|_____|_____|_____|_____| – restul ramas, adica 18 lei.

      Problema se rezolvă prin mersul invers. Încearcă să găsești răspunsul, revino cu rezolvarea!

  11. varog ajutatima sunt eleve de clasa a v si am o problema memrii unui club ecologis au mesterit in 2 saptamini 139 de cantie pentru pasari. cite cantine au confectionat in prima saptamina daca in a doua saptamina au facut 33 mai multe?

  12. O persoana isi serbeaza ziua de nastere si primeste intrebarea
    Cati ani împliniti?
    El raspunde
    Am dublul varstei pe care o aveai tu cand eu eram de varsta ta.
    Cand tu o sa ajungi de varsta mea amandoi o sa avem 63 de ani

    • O informație e necesară: „o să avem împreună 63 de ani?”
      Mi se pare ca mai lipsește ceva din problemă…

  13. Ani… ai dreptate din graba am omis un cuvant O persoana isi serbeaza ziua de nastere si primeste intrebarea
    Cati ani împliniti?
    El raspunde
    Am dublul varstei pe care o aveai tu cand eu eram de varsta ta.
    Cand tu o sa ajungi de varsta mea amandoi împreuna o sa avem 63 de ani .

    A si înca ceva am incercat o rezolvare ba mai multe dar erau varste cu virgula ex 15.7 luni nui corect timpi decurg pt amandoi egal si la un moment dat nu se incadreaza in datele problemei ma cam blocat sincer

    • Am ajuns până la urmă la sistem de ecuații cu 3 necunoscute, după ce m-am chinuit cu metoda figurativă… dar e prea complicat. Așadar, uite cum am gândit:

      La momentul p1, adică prezent, cei doi au vârstele x și y, unde x-y=n, n – diferența de vârstă.
      La momentul p2, adică atunci când x era de vârsta prezentă a lui y, adică în urmă cu n ani, y avea vârsta y-n, pentru că se păstrează aceeași diferență de vârstă, deci x=2*(y-n)
      La momentul p3, adică y va avea vârsta lui x (deci y+n), vor avea împreună 63 de ani. Dar la p3 și x a îmbătrânit, tot cu n ani, deci relația este x+n+y+n=63.

      sistemul este:
      x-y=n
      x=2*(n-y)
      x+y+2n=63

      Dacă rezolvi sistemul, eu am obținut x=28 și y=21.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *