Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda comparatiei

În cele ce urmează voi prezenta rezolvarea unei probleme prin metoda comparaţiei sau metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie. În aceste probleme apar două mărimi, care pot fi comparate în acelaşi mod şi sunt caracterizate de câte două valori.

Metoda constă în a aduce una dintre mărimi la aceeaşi valoare, având apoi de aflat o singură mărime. Aşezarea datelor problemei trebuie urmărită cu stricteţe. Voi prezenta rezolvarea unei probleme prin aceasta metodă.

Se dă următoarea problemă:

 4 metri de stofă şi 3 metri de postav costă 1250 de lei, iar 2 metri de stofă şi 6 metri de postav costă 1300 de lei.
Cât costă metrul de stofă şi cât costă metrul de postav?

Datele problemei le aşezăm astfel:

4 m stofă … 3 m postav … 1250 lei  (1)
2 m stofă … 6 m postav …. 1300 lei  (2)

Rezolvarea I

Dacă luăm cantităţi duble, adică înmulţim cu 2 cantităţile celui de al doilea rând (2), preţul se dublează, şi vom scrie:

4 m stofă … 3 m postav … 1250 lei
4 m stofă ….12 m postav …2600 lei

Cum cantitatea de stofă este aceeaşi, înseamnă că diferenţa de preţ apare datorită diferenţei cantităţilor de postav, aşadar:

 12m-3m= 9 (m de postav),
care costă
2600 -1250 =1350 (lei)
Un metru de postav va costa
1350 : 9 = 150 (lei)

Vom continua astfel:

 3 metri de postav costă 3×150 = 450 (lei)

atunci

 4 metri de stofă vor costa 1250 – 450 = 800 (lei.)
Un metru de stofă va costa 800 : 4 = 200 (lei)

Răspunsul este:

 1 m stofă costă 200 lei, iar 1 m postav 150 lei.

Rezolvarea II

Dacă vom lua cantităţi duble, adică înmulţim cu 2 cantitătile primului rând (1), preţul se dublează, vom scrie:

8 m stofă … 6 m postav ….2500 lei
2 m stofă … 6 m postav …1300 lei

 Cum cantitatea de postav este aceeaşi, înseamnă că diferenţa de preţ apare datorită diferenţei cantităţilor de stofă, deci

 8 – 2 = 6 (m de stofă),
care costă
2500 -1300 = 1200 (lei)
Un metru de stofă va costa
1200 : 6 = 200 (lei)

Vom continua astfel:

 4 metri de stofă costă 4 x 200 = 800 (lei)

atunci

 3 metri de postav costă 1250 -800 = 450 (lei)
Un metru de postav va costa 450 : 3= 150 (lei)

Am obţinut aceleaşi rezultate ca mai sus, răspunsul este:

 1 m stofă costă 200 lei, iar 1 m postav 150 lei.

Observaţie: Întâmplarea a făcut ca de fiecare dată să dublăm cantităţile. Le putem înmulţi cu 3, cu 4 sau împărți etc.

Vă propun spre rezolvare, în cele două moduri, următoarea problemă:
7 metri de postav şi 5 metri de stofă costă 2050 lei, iar 3 metri de postav şi 4 metri de stofă costă 1250 lei.
Să se afle cât costă metrul de stofă şi metrul de postav.

Spor la lucru!


Important!
Nu posta probleme fără a mentiona în ce clasă esti si neaparat cum te-ai gândit tu să rezolvi problema. Nu rezolvăm aici temele elevilor, doar îi ajutăm în cazul în care s-au impotmolit la rezolvare.
Mesajele care contin doar cerintele problemei vor fi ignorate.

 


 

Dani D.

Profesor de matematică la gimnaziu de peste 40 de ani.
Posted in Matematică, Ora de Științe and tagged , , , , , .

147 Comments

  1. am urmatoarea problema de cls.aIVa,: in doua sertare sunt 992 de coli.Afla cate coli se afla in fiecare sertar, daca3/5 din nr. colilor din primul sertar reprezinta 2/7 din nr. colilor din al doilea sertar.

    • Draga Nicoleta,
      Mi se pare pretentioasa problema pentru clasa a patra! Este din manualul vostru sau din vreo culegere de probleme! Chiar si o rezolvare cu ecuatii este pretentioasa pentru clasa a IV-a! Astept sa mi spui de unde este.Cu bine

  2. E din „Matematica -ex.si probleme cls.aIVa- editura Carminis(A.Arghirescu/F.Ancuta), carte din care a lucrat mereu, manualul nu l-a folosit deloc, nici macar nu-l ia la scoala.

  3. Buna sunt in cl. 5 si nu ma descurc cu aceasta problema va rog sa ma ajutati Determinati capacitatea in litri a unui bazin in forma de cub care are suma lungimilor muchiilor egala cu 6 m Multumesc

    • Draga Neli,
      Cubul are 12 muchii;fie m lungimea uneia; 12m=6;afli m si apoi capacitatea vasului. Cu bine.

  4. buna ziua mai am o problema .Un calator parcurgein prima zi jumatate din lungimea drumului si inca 1 km ,a doua zi parcurge o treime din drum si inca 1 km ,iar a treia zi ultimi 3km. Cati km are drumul ? am facut asa dar nu stiu daca e bine 1 _/_/_/_/ +1 2 _/_/_/+1 3 _/ 3km 3+1=4 4×8=32 32-2=30 km

    • Draga Neli,
      Ce clasa esti?Iata o solutie algebrica, dacaesti clasa a VI a sau mai mare. Fie x intregul drum.Obtinem ecuatia 1/2x+1+1/3x+1+3=x. Cu bine.

    • Eu sunt in clasa a 5 a si nu stiu urmatoarea problema: daca 3 kg de mere si 9 kg de rosii costa in total 81 lei,sa se afle cat costa2kg de mere si 6 kg de rosii in total. Din culegerea de probleme de matematica,cls.a v a

    • 3 kg mere ….. 9 kg rosii …. 81 lei |:3
      1 kg mere ….. 3 kg rosii …. 27 lei |x2
      2kg mere …… 6 kg rosii …. 54 lei

  5. Va rog sa ma ajuta?i la o prob de clasa a 4: un tren are la urcare 120 m,iar la coborâre 100 m,distanta dintre vagoane este de 30 cm.Câte vagoane are trenul?

    • Draga Georgiana,
      Variatia lungimii trenului se datoreaza faptului ca arcurile tampoanelor se intind la urcare si se comprima la coborare. Variatia este de 120–100=20m.Cum in mod normal intre vagoane avem 30 cm, impartim 20 m=2000 cm la 30 cm si aflam numarul de intervale dintre vagoane. Numarul vagoanelor este cu 1 mai mare decat numarul intervalelor.Vezi ca impartirea se face cu rest!Cu bine.

  6. a problema nerezolvata de voi …preturile rezultate sunt egale cu cele in problema nu?adica 1 metru de stofa este egal cu 200 lei iar 1 metru de postav 150.. m-a ajutat foarte mullt expliocatia voastra sunt anul 2 la facultatea de stiinte ale educatiei si numai aici am reusit sa inteleg cum le pot rezolva.va multumesc

  7. Buna ziua,sunt in clasa a7-a(de la 14 sept.) si v-as ruga sa ma ajutati cu o ecuatie.Aflati nr. a si b din ecuatia 7a+3b=420 stiind ca [a,b]=21(a,b).Deci cel mai mic multiplu al numerelor a si b este egal cu 21 X cel mai mare divizor al numerelor. De aici am inteles ca cmmmc e un multiplu de 21…am incercat n variante dar tot nu inteleg.

    • Draga Andrei,
      Trebuia sa mi arati si ce ai facut tu! Trebuia sa mi indici si culegerea folosita! Nu mi se pare o problema chiar de clasa a VII a! Daca autorul a intentionat sa o rezolve prin incercari, se poate;scrii multiplii lui 21 si vei gasi o solutie abia cand [a,b]=210. Tinem cont si de relatia [a,b]*(a,b)=a*b. Gasim a*b=2100 si apoi a=30,b=70 sau a=70,b=30.O rezolvare concreta, necesita rezolvarea unei ecuatii de gradul al doilea! PS. Astept sa mi spui din ce culegere ai luat problema!

    • Notam (a,b)=d,d nr. natural.Atunci a=dp,b=dk cu (p,k)=1,p si k nr. naturale
      Din 7a+3b=420 obtinem d(7p+3k)=420 (*)
      Stim ca [a,b](a,b)=ab si inlocuind in [a,b]=21(a,b) obtinem 21(a,b)^2=ab,deci 21d^2=d^2pk,adica pk=21.Obtinem pentru p si k solutiile: p=1,k=21 sau p=3,k=7,sau p=7,k=3 sau p=21,k=1.Observam ca in toate cazurile p si k sunt prime intre ele,deci toate aceste solutii convin.
      Daca p=1,k=21,din relatia (*) obtinem d=6,deci a=6 si b=126
      Daca p=3,k=7,din relatia (*) obtinem d=10,deci a=30 si b=70
      Daca p=7,k=21,din relatia (*) obtinem 112d=420 care nu are solutie nr. natural
      Daca p=21,k=1,din relatia (*) obtinem 150d=420 care nu are solutie naturala.
      Deci problema are doua solutii,respectiv a si b pot fi 6 si 126 sau 30 si 70.

  8. Draga Dani, exercitiul este din testele initiale,Paralela 45,Mate 2000 Consolidare, cls. a 7a,semestrul 1(Test initial 2, partea aII a,ex.5).Am scris si eu multiplii lui 21 si am calculat si incercat si singura varianta credibila era ca a si b sa fie egale cu 42:)))). De fapt exercitiul ,zic ei(autorii), este de clasa a 6 a…eu insa nu am mai intalnit astfel de exercitii pana acum. Rapunsul la final dadea drept solutii (6;126), (30;70).

    • Draga Andrei,
      Daca autorii au avut in vedere rezolvarea prin incercari, este foarte anevoios! Sa iei fiecare multiplu in parte…nu e usor. Se poate insa si asa. Cu bine.

    • intr-adevar este problema pentru clasa a 6-a.
      La cmmdc si cmmmc,in afara de modul de calcul se mai invata si relatii intre numere si cmmdc/cmmmc,respectiv ca:
      – daca d este cmmdc pt a si b (adica a si b se impart la d si acest d este cel mai mare cu proprietatea respectiva),atunci a=dk,b=dp unde k si p sunt prime intre ele
      – daca m este cmmmc pt a si b (adica m se imparte la a si b),atunci m=ak,m=bp unde k si p sunt prime intre ele
      – pentru doua numere a si b este adevarata relatia d*m=a*b
      – formula de calcul pt numarul divizorilor unui numar,folosind descompunerea in factori primi (nu o pot scrie aici,dar ea exista).
      Succes !

    • Înainte de a posta probleme de grădiniță cu ton ironic, învață să scrii corect. „Copiii”

  9. buna ziua! pentru aniversarea lui George mama sa a cumparat 13 amandine si savarine ,platind in total 57 lei. daca 4amandine si 5 savarine costa 40 lei ,iar 2 amandine si 4 savarine costa 26 de lei ,afla cate amandine si cate savarine a cumparat mama lui George. 4a……….5s :40 1 2a……….4s :26 2 inmultim cu 2 si aducem a la numitor comun 4a……….8s ;52 diferenta ne o da savarinele 3s ;12 1s ;4 1a ; 5 prin metoda incercari aflu ca mama a cumparat 5a si 8s, dar vreu o metoda mai rapida sau maiexplicita. Multumesc! Mentionez ca sunt in clasa a 4 a.

    • Draga Andrei,
      Metoda prin care rezolvi aceasta problema se numeste Metoda comparatiei, care se foloseste asa cum ai procedat tu! Nu ai facut incercari! O alta metoda vei invata in clasa a VIII a, folosind sistemele de ecuatii! Pentru clasa a IV a, destul de explicita este Metoda comparatiei.Cu bine.

  10. Am o problema de a 5-a:
    3 pixuri si 5 creioane costa 11 lei.
    2 pixuri si 6 creioane costa 10 lei.
    Cat costa un pix si cat costa un creion

    • Draga Gabi,
      Problema se rezolva prin metoda comparatiei!Inmultim cu 2 primul rand si cu 3 pe cel de al doilea:
      6p…10 cr…22 lei
      6p…18cr…30 lei, le scadem si gasim 8cr…8 lei, de unde 1 cr…8lei:8=….samd.Continua tu!

    • Draga Bianca,
      6mp…..15mst….570 lei/7 (inmultim primul rand cu7)
      7mp…..1omst….440 lei/6 (inmultim al doilea rand cu 6) si obtinem
      42mp…..105 m st….3990 lei
      42mp….. 60 mst…. 2640 lei, in felul acesta eliminam panza, prin scadere
      105-60mst…1350 lei
      45 mst…1350 lei
      1m st…1350:45=30 lei
      10mst……30 lei*10=300 lei
      7mp…..440-300=140 lei
      1mp……140 lei:7=20 lei

  11. Bună seara! Mă puteți ajuta si pe mine cu o problemă, cls 4? … Stiind ca 3 dulapuri, 5 mese si 4 scaune costa 1796 lei si 7 dulapuri, 5 mese si 4 scaune costa 2660 lei, iar o masa costă cat doua scaune, aflati cat costă fiecare piesă de mobilier.

    • 3 d … 5 m … 4 s … 1796 lei
      7 d … 5 m … 4 s … 2660 lei
      1 m = 2 s

      (scriem mesele – 5 ca produs, 5 * 2 = 10)
      3 d … 10 s … 4 s … 1796 lei
      7 d … 10 s … 4 s … 2660 lei

      (adunam `scaunele`)
      3 d … 14 s … 1796 lei
      7 d … 14 s … 2660 lei

      (se scad cele două expresii)

      4 d … … … 864 lei |:4
      1 d … … … 216 lei

      3*216 lei d … … 14 s … … 1796 lei
      14 s … … 1796 – 3*216 = 1148 lei
      1 s … … 1148 : 14 = 82 lei
      1 m … … 2 * 82 = 164 lei

  12. sunt in clasa a 5a si nu stiu cum sa rezolv urmatoarea problema..Calin are un nr de bomboane.Bogdan a luat 5 bomboane,iar Andrei a luat din rest 10 bomboane.Stiind ca ,Calin a ramas cu 6 bomboane cate bomboane a avut la inceput Calin?

  13. Pingback: Metode de rezolvare a problemelor de matematica: metoda figurativa | Talente de Năzdrăvani

  14. Am urmatoarea problema( Gazeta Matematica Junior nr.44, februarie 2015) pentru cls.I :
    Bunicul vrea sa planteze o livada cu pruni, meri si ciresi. Pentru aceasta el cumpara29 de pomi fructiferi. Dintre acestia 9 nu sunt ciresi, iar 16 nu sunt meri.
    Cati pomi fructiferi din fiecare fel a cumparat bunicul?
    Nu stiu cum sa o gandesc si sa o rezolv.

    • Draga curiosule,
      9 nu sunt ciresi. Asta inseamna ca pruni + meri sunt noua, p+m=9(1).16 nu sunt meri, deci pruni +ciresi sunt 16, p+c= 16(2). Toti pomii sunt 29, deci p+m+c=29(3).Inlocuim 1 in 3 si obtinem 9+c=29, de unde c=29-9=20 ciresi. Inlocuim 2 in 3 si obtinem 16+m=29, de unde m=29-16=13 meri. Inlocuim merii in 1 si obtinem p+13=9 , ceea ce este imposibil! Asta inseamna ca enuntul problemei este gresit!!! Banuiesc ca a cumparat mai multi pomi fructiferi! Revezi textul problemei!!! Sa revii!PS. Aceasta este ideea de rezolvare!

  15. Bună ziua!
    Problema,cls a patra.
    Trei copiii,au împreună o sumă de bani.Al treilea are o șesime din suma celorlalți doi.Primul,are jumătate din suma primului,plus încă 24.Diferenta dintre primul nr și al treilea ,este 42.Care sunt nr.?
    Mulțumesc anticipat!

    • Fie a, b, c numerele căutate, în ordine. Scriem datele problemei astfel:
      (a + b):6 = c (1)
      a = (a + 24) : 2 (2)
      c – a = 42 (3)

      a = (a + 24) : 2 |*2
      2a = a + 24 | -a
      a = 24
      Înlocuim în relația (3):
      c – 24 = 42 => c = 66
      Înlocuim în relația (1):
      (24 + b): 6 = 66 => 24 + b = 66*6 => b=396-24=272

      Numerele ar fi 24, 272, 66.
      Sper că am interpretat corect relația despre primul număr, căci ați pus acolo o virgulă care, dacă există cu adevărat, încurcă lucrurile.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Am fost informat că datele de identificare furnizate în adăugarea acestui comentariu sunt stocate în baza de date a blogului pentru a primi informațiile/comentariile nou apărute. În cazul în care nu mai doresc acest lucru, mă pot dezabona folosind linkurile din mailurile primite. De asemenea, pot cere ștergerea de pe site a informațiilor ce pot duce la identificarea mea, printr-un mesaj scris.


Pentru păstrarea aninomatului, folosiți un pseudonim și o adresă de mail inventată, precum a@a.a.



CabinaFotoSunt.eu - Distractie la evenimente