Matematica: ultima cifra a unui numar natural

Mi-am propus să o dezvolt într-o mică expunere pentru cei interesaţi o temă pe care nu o găsim expusă sistematic în manualul şcolar, dar solicitată de multe ori aici pe blog.

Prin ultima cifră a unui număr înţelegem cifra unităţilor. Ultima cifră a numărului 4 este 4. Ultima cifră a numărului 23 este 3. Ultima cifră a numărului 157 este 7.

Se notează astfel:

  • U(4) = 4
  • U(23) = 3
  • U(157) = 7

Putem să extindem această noţiune pentru o sumă, pentru un produs în felul următor.

U(a+b)=U(a)+U(b) şi U(a*b)=U(a)*U(b).

Iată câte un exemplu.

U(12+17)=U(12)+U(17)=2+7=9
şi
U(12*17)=U(12)*U(17)=U(2*7)=U(14)=4.

Dacă vom studia ultima cifră a numerelor vom observa că unele au mereu ultima cifră aceeaşi, altele nu. Din prima categorie fac parte numerele care se termină cu 0, 1, 5 si 6. Să considerăm câte un exemplu din fiecare.

Fie 10 1=10; 10 2=100; 10 3=1000 şamd.
Observăm că 10 ridicat la orice putere, diferită de zero, are ultima cifră 0.

Fie 11 1=11; 11 2=121; 11 3=1331, şamd.
Observăm că 11 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.

Fie 5 1=5; 5 2 =25; 5 3=125, şamd.
Observăm că numărul 5 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 5.

Fie 6 1=6; 6 2 =36; 6 3=216, şamd.
Observăm că numărul 6 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 6.

Din cele prezentate reţinem următoarele:

a) Un număr care are ultima cifră 0 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 0.
b) Un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1.
c) Un număr care are ultima cifră 5 ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 5.
d) Un număr care are ultima cifră 6, ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 6.

Pentru un numar care are ultima cifră diferită de cele de mai sus, se procedează ca in exemplul urmator.

Să se afle ultima cifră a numarului 2 2015. (Se procedează la fel pentru 12 2015).

Calculăm câteva puteri. 2 1=2; 2 2=4; 2 3=8; 2 4=16; 2 5=32; 2 6=64; 2 7=128; 2 8=256; şamd.
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 2 4 sau 8 sau 12 sau 16…, are ultima cifră 6 ( un număr cu ultima cifră 6).
Din acest motiv, împărţim 2015 la 4 şi obţinem câtul 503 şi rest 3, ceea ce se scrie 2015=503×4+3.
Vom scrie U(2 2015)=U( 2 503×4+3)=U( 2 503×4)*U( 2 3)=U(( 2 4) 503)*8=U( 16 503)*8= U(6*8)=  =U(48)=8.

Ca temă, calculati, după acelaşi model, 3 2015, 4 2015, 7 2015, 8 2015 si 9 2015.

Cu aceste minime cunoştinte putem afla ultima cifră pentru diverse sume si produse.

Zapezica si bunicul Inghet – concurs – etapa a IIIa

Mai avem o temă… una singură! Parcă nu-mi vine să cred, a mai trecut un an, şi încheiem seria de exerciţii săptămânale. Cum să o încheiem altfel decât cu un ornament pentru pomul de iarnă?! M-am tot gândit cu ce să semene, şi am ales o pisicuţă, influenţată, ce-i drept, de ultima apariţie din Galaxia Copiilor, Pisicile războinice. Mi-am dat apoi seama că pisicuţa agăţată în brad are pentru mine o semnificaţie deosebită, căci primul brad de Crăciun pe care mi-l amintesc – cred că mai mult de 3-4 ani nu aveam – era plin cu globuri (înainte să dau de câteva ori cu el de pământ!), iar la poale avea o pisicuţă argintie. I-am ţinut mult timp de urât, strecurată sub cetină…

Dar să las amintirile, şi să revin la concurs. După ce i-am pus la treabă pe copii săptămâna trecută, când au confecţionat fulgi de nea din paste făinoase, acum le-am cerut un nou ornament, fără să le indic nicio tehnică. Mai multe detalii despre cerinţe găsiţi în pagina dedicată probei, iat tema trebuie terminată până duminică, 14 decembrie.

Zapezica si bunicul InghetZapezica si bunicul InghetZapezica si bunicul Inghet

Concursul se desfăşoară în perioada 24 noiembrie – 14 decembrie 2014; este alcătuit din trei probe, fiecare desfăşurându-se pe parcursul unei săptămâni. Tema este anunţată luni dimineaţa, şi poate fi realizată şi trimisă până duminică seara. O temă pierdută nu poate fi recuperată. Pe lângă realizarea temei, copiii trebuie şi să acorde puncte colegilor de grupă, pentru a stabili clasamentul final al concursului. Clasamentul copiilor este un exerciţiu de evaluare, fără legătură cu tragerea la sorţi a premiilor oferite de editura Galaxia Copiilor.

Copiii trebuie să lucreze singuri. Nu au nimic de câştigat ori de învăţat dacă îşi observă la lucru părinţii ori educatorii. Nu uitaţi de codul de onoare al Năzdrăvanilor!

Editura Galaxia Copiilor

Concursul Zăpezica şi bunicul Îngheţ beneficiază de 5 premii oferite de Editura Galaxia Copiilor. Câștigătorii își pot alege ca premiu una dintre următoarele variante.

  • 3 cărți de colorat uriașe din seria Jumbo: JUMBO. IARNA
    de Roxana Geantă, JUMBO CARTOON CARTE DE COLORAT 5, JUMBO CARTOON CARTE DE COLORAT 6
  • 3 cărți de povești din colecţia Călătorii în lumea basmelor: ZĂPEZICA-BUNICUL ÎNGHEȚ, de Alexander Afanasiev; PITICUL NAS LUNG
    de Wilhelm Hauf, TROLUL FĂRĂ INIMĂ
    de Asbjornsen & Moe
  • Primele două volume din seria Pisicile războinice, de Erin Hunter

Pentru fiecare temă rezolvată, copiii care participă primesc o şansă la tragerea la sorţi pentru a câştiga unul dintre premii. Premiile nu vor fi cumulate, chiar dacă vor ieşi la extragere ambele sau toate trei numerele aparţinând unui singur copil. Un participant va primi un singur premiu, iar pentru celelalte premii se va trece la o nouă extragere.  

Cadrele didactice care doresc să participe la concurs pot înscrie un singur copil din clasă.

Premiile nu pot fi transformate în bani, şi se expediază numai la adrese de pe teritoriul României. În cazul unui premiu nerevendicat în 3 zile de la anunţarea norocoşilor (pe blog, la secţiunea "Din culisele concursurilor"), acesta se va acorda prin tragere la sorţi celorlalţi participanţi. Prin revendicarea unui premiu se înţelege adăugarea unui mesaj, în cadrul articolului dedicat, care să conţină adresa şi datele de indentificare.

Tragerea la sorţi va avea loc în data de 16 decembrie 2014. Câştigătorii vor fi anunţaţi public, nu personal fiecare în parte, iar pentru a fi la curent cu detaliile urmăriţi articolele de pe blog prin intermediul abonamentului, realizabil aici.

Craciunul din padure, in Animale salbatice din hartie (*15)

Am spus deseori că numerele mele favorite din colecţia Idei creative sunt cele care includ modele ce pot fi decupate şi aranjate. Mi-am uşurat foarte mult munca cu copiii pregătind modelele pe calculator, separând elementele şi dându-le copiilor doar fişele finale, de pe care decupau piesele şi le asamblau. Altfel, modelul se copiază pe calc, se foloseşte apoi efectul indigo şi se transferă pe foaia finală. Necesită multă răbdare şi timp, ceea ce eu nu am… timp mă refer, nu că la „răbdare” aş sta mai bine când se referă la lucruri de rutină.

idei-creative101-casa3

Răsfoind numărul 101 – Animale sălbatice din hârtie, ne tot gândeam – şi eu şi Iris – ce anume să pregătim ca proiect de Crăciun. Am ajuns aproape la ultima pagină, la proiectul „vulpea şi iepuraşul”, care stăteau lângă un brad. Ca-n reclamă, am schimbat povestea. Crăciunul aduce magia şi în pădure, transformând în prieteni vechii duşmani. Vulpea şi iepuraşul nu mai stau lângă un brad simplu, am renunţat la trunchi şi l-am decorat de Crăciun. Nu am lucrat cu carton, am ales pentru tablou spumă eva, aşadar n-am putut printa modelele, ci le-am copiat cu calc.

idei-creative101-casa2

În volum sunt o sumedenie de idei frumoase, cel ales de noi a concurat cu bufniţele, foarte potrivite pentru a fi agăţate pe post de ornament pentru pomul de iarnă. În afară de acestea mai avem: veveriţa şi ariciul, şoricelul şi cuibul de păsărele, vulpea cea şireată, ornament cu căprioare, pădurea veselă, porcuşori mistreţi, ciocănitoarea şi liliacul, lupul şi ratonul, broscuţe la plimbare, bursucul şi salamandra, ornament cu şoricei, vulpea strângăreaţă, bufniţe primitoare. Ca de obiei, volumul debutează cu un capitol dedicat materialelor, uneltelor şi tehnicilor de lucru, mai ales pentru cei care nu sunt obişnuiţi cu colecţia sau nu au mai lucrat proiecte asemănătoare.

idei-creative101-casa1

Cartea o puteţi găsi în librăria online a editurii Casa, sau în alte librării: Libris (transport gratuit), eMag, elefant (transport gratuit in Bucuresti si CLuj, cu ridicare din librarie centrala), Librarie.net, AdevarulShop, BestKids.

Atelierul de creatie | Proiecte de Crăciun | Biblioteca Năzdrăvanilor 

*Proiectul face parte din maratonul 30 de idei de Crăciun.